2次方程式の解の公式

概要

以下の関係を満たす\( x \)を定数\( a,b,c \)で表す。すなわち、2次方程式の解の公式を導く。

\begin{eqnarray}
ax^2+bx+c=0
\end{eqnarray}

導出

\( a \neq 0 \)として、両辺を\( a \)で割る。

\[ \begin{eqnarray}
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0
\end{eqnarray} \]

*1

について平方完成を行う。

\begin{eqnarray}
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}=0
\end{eqnarray}

定数項を右辺に移項する。

\begin{eqnarray}
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}
\end{eqnarray}

両辺の平方根を取る。

\begin{eqnarray}
x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}}
\end{eqnarray}

移項して定数項を右辺にまとめる。

\begin{eqnarray}
x=\frac{-b}{2a}\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}}
\end{eqnarray}

右辺を通分する。 

\begin{eqnarray}
x=\frac{-b\pm\sqrt{\left(b^2-4ac\right)}}{2a}
\end{eqnarray}

2次関数の解の公式が求められた。

*1:の時、

である。