等差数列の和

等差数列

等差数列の一般項は、を初項、を公差として、
\begin{equation}
a_n=a_0+nd
\end{equation}

の形で表せる。

(与えられた初項がだったらを引いてを作っておこう。が初項だとの係数がになって面倒なので)

等差数列の和

この数列をからまで足した値はいくつになるか？や省略のない形で表したい。

まず単純に和を取ってみると、

\begin{equation}
\displaystyle \sum_{k=m}^n(a_0+kd)=a_0+md+\left\{a_0+(m+1)d \right\} + \left\{a_0+(m+2)d \right\} + \cdots +\left\{a_0+(n-1)d \right\}+a_0+nd \tag{1}
\end{equation}

これだけでは良く分からない。

和を逆の順番で書いてみる。

\begin{equation}
\displaystyle \sum_{k=m}^n(a_0+kd)=a_0+nd +\left\{a_0+(n-1)d \right\} +\left\{a_0+(n-2)d \right\} +\cdots + \left\{a_0+(m+1)d \right\}+a_0+md  \tag{2}
\end{equation}

式(1)と式(2)を辺々足すと、いい感じに打ち消し合う。

\begin{equation}
\displaystyle \require{cancel}
2\sum_{k=m}^n(a_0+kd) = 2a_0+(m+n)d +\left\{2a_0+(m\cancel{+1}+n \cancel{-1})d \right\} + \left\{ 2a_0+(m\cancel{+2}+n\cancel{-2})d \right\} + \cdots + \left\{2a_0 +( n\cancel{-1} +m\cancel{+1})d \right\}+\left\{ 2a_0+(n+m)d \right\}
\end{equation}

整理して書く。

\begin{equation}
\displaystyle
2\sum_{k=m}^n(a_0+kd) = \overbrace{\left\{2a_0+(m+n)d \right\}+\left\{2a_0+(m+n)d \right\} + \left\{ 2a_0+(m+n)d \right\} + \cdots + \left\{2a_0 +(m +n)d \right\}+\left\{ 2a_0+(m+n)d \right\}}^{n-m+1} \tag{3}
\end{equation} 

式(3)を掛け算で表す。これで右辺からも省略もなくなる。

\begin{equation}
\displaystyle
2\sum_{k=m}^n(a_0+kd) = (n-m+1) \left\{ 2a_0+ (m+n)d \right\}
\end{equation} 

右辺の右側のカッコ内を展開する。

\begin{equation}
\displaystyle
2\sum_{k=m}^n(a_0+kd) = (n-m+1) \left\{ (a_0+md)+(a_0+nd) \right\}
\end{equation} 

右辺の右側カッコ内をとで表す。

\begin{equation}
\displaystyle
2\sum_{k=m}^n(a_0+kd) = (n-m+1) (a_m+a_n)
\end{equation}  

両辺を2で割る。

\begin{equation}
\displaystyle
\underline{\sum_{k=m}^n(a_0+kd) = \frac{(n-m+1) (a_m+a_n)}{2}}
\end{equation}  

等差級数の式が導かれた。

 

図形的に表すとこのようになる。とした。 

\begin{equation}
\displaystyle
\sum_{k=0}^6(3+2k) = \frac{(6-0+1) (15+3)}{2}=63
\end{equation}  

は上図の青いマスの数と一致している。すなわち、等差数列の和は長方形の面積を出してから2分する計算と等価である。