隣接2項による漸化式

簡単な漸化式

数列の一般項が、やなどの別の項の関数として表されている式を漸化式と呼ぶ。もしある漸化式が、

\begin{equation}
a_{n+1}=a_{n}+d
\end{equation}

の形で表せる場合、この数列は明らかに公差の等差数列である。

また、ある漸化式が

\begin{equation}
a_{n+1}=ra_n
\end{equation}

の形で表せる場合、この数列は明らかに公比の等比数列である。

 隣接2項漸化式

では、漸化式が

で表される場合はどうなるか？すぐには解けないこのような問題を、上記の簡単な漸化式に帰着させ、一般項を求めるのが漸化式の解法である。

この漸化式を

の形に出来れば、新たな数列は公比の等比数列になるので、式(1)をこの形に変形して、の値を調べる。

 特性方程式

そのために、まず目標となる式(2)を展開する。

\begin{equation}
a_{n+1}-x＝p a_n-px
\end{equation}

さらに左辺のを右辺に移項する。

\begin{equation}
a_{n+1}＝p a_n+x-px \tag{2'}
\end{equation}

これで式(1)と式(2')が同形になったので係数と定数項をそれぞれ比較する。

\begin{eqnarray}
b&＝&p\\
c&=&x-px \tag{3}
\end{eqnarray}

式(3)中のにを代入して移項する。

\begin{equation}
x=bx+c \tag{4}
\end{equation}

とは既知なので、この方程式をについて解けばよい。

この式(4)をこの漸化式の特性方程式と呼ぶ。元の漸化式のとをに置き換えた形である。この方程式の解を、もとの漸化式の両辺から引くことで、2項間漸化式を等比数列に変換できる。

例題

漸化式

\begin{eqnarray}
a_0&=&1\\
a_{n+1}&=&5a_n+8 \tag{5}
\end{eqnarray}

で与えられる数列の一般項を求めよ。

特性方程式はとなるので、移項して、両辺をで割ってと解ける。式(5)の両辺からを引いて、

数列は初項、公比5の等比数列であるため、と表せ、目的の一般項はと表される。