三項漸化式特性方程式の解が複素数の場合

例題

以下の漸化式を特性方程式を用いて解き、 $a_n$ を閉じた式で表す。

\begin{eqnarray}
a_{n+2}&=&2a_{n+1}-2a_n\\
a_0&=&3\\
a_1&=&5
\end{eqnarray}

特性方程式は以下の形になる。

\begin{eqnarray}
x^2-2x+2=0
\end{eqnarray}

2次関数の解の公式を用いて特性方程式を解く。

\begin{eqnarray}
x&=&\frac{2\pm\sqrt{4-8}}{2}\\
&=&\frac{2\pm\sqrt{-4}}{2}\\
&=&1 \pm i
\end{eqnarray}

特性方程式の2つの解を用いて、漸化式を2つの等比数列に変換する。

\begin{eqnarray}
a_{n+1}-(1+i)a_n=(1-i)^n[a_1-(1+i)a_0]\\
a_{n+1}-(1-i)a_n=(1+i)^n[a_1-(1-i)a_0]
\end{eqnarray}

$a_0=3$ と $a_1=5$ を代入する。

\begin{eqnarray}
a_{n+1}-(1+i)a_n=(1-i)^n[5-3(1+i)]\\
a_{n+1}-(1-i)a_n=(1+i)^n[5-3(1-i)]
\end{eqnarray}

右辺を計算する。

\begin{eqnarray}
a_{n+1}-(1+i)a_n=(1-i)^n(2-3i)\\
a_{n+1}-(1-i)a_n=(1+i)^n(2+3i)
\end{eqnarray}

下の式から上の式を辺々引いて $a_{n+1}$ を消去する。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
2ia_n&=&(1+i)^n(2+3i)-(1-i)^n(2-3i)\\
\end{eqnarray}

両辺を $2i$ で割って一般項が求められた。

\begin{eqnarray}
\underline{a_n=\frac{(1+i)^n(2+3i)-(1-i)^n(2-3i)}{2i}}
\end{eqnarray}

複素数になっていて一見間違っているように見えるが…

検算

漸化式から、

\begin{eqnarray}
a_0&=&3\\
a_1&=&5\\
a_2=2\cdot5-2\cdot3=10-6&=&4\\
a_2=2\cdot4-2\cdot5=8-10&=&-2\\
\end{eqnarray}

一般項から

\begin{eqnarray}
a_0&=&\frac{(1+i)^0(2+3i)-(1-i)^0(2-3i)}{2i}\\
&=&\frac{(2+3i)-(2-3i)}{2i}\\
&=&3\\
a_1&=&\frac{(1+i)^1(2+3i)-(1-i)^1(2-3i)}{2i}\\
&=&\frac{(2+3i+2i-3)-(2-3i-2i-3)}{2i}\\
&=&5\\
a_2&=&\frac{(1+i)^2(2+3i)-(1-i)^2(2-3i)}{2i}\\
&=&\frac{(1+2i-1)(2+3i)-(1-2i-1)(2-3i)}{2i}\\
&=&4\\
a_3&=&\frac{(1+i)^3(2+3i)-(1-i)^3(2-3i)}{2i}\\
&=&\frac{(1+3i-3-i)(2+3i)-(1-3i-3+i)(2-3i)}{2i}\\
&=&-2\\
\end{eqnarray}

$a_0$ から $a_3$ まで合っていることが確かめられた。また虚数単位 $i$ は全て計算中に打ち消されていることが分かる。