ガチャ大爆死とネイピア数の関係

$n$ 連ガチャ大爆死の確率

当たる確率1%の100連ガチャの爆死率について以前書いた。では、当たる確率0.1%の1000連ガチャや、当たる確率0.01%の10000連ガチャの爆死率はどうなるだろうか？エクセルで計算してみる。

当たる確率1%の100連ガチャ

\begin{equation}
0.99^{100}=0.366\cdots
\end{equation}

当たる確率0.1%の1000連ガチャ

\begin{equation}
0.999^{1000}=0.368\cdots
\end{equation}

当たる確率0.01%の10000連ガチャ

\begin{equation}
0.9999^{10000}=0.368\cdots
\end{equation}

ほとんど変化せず、収束していそうな結果になる。

代数的表現

当たる確率 $1/n$ の $n$ 連ガチャで大爆死する確率 $p$ は以下のように書ける。

\begin{equation}
p=\left( 1-\frac{1}{n} \right)^{n}
\end{equation}

上記、1%の100連ガチャの時はこんな感じ。

\begin{equation}
p=\left( 1-\frac{1}{100} \right)^{100}=0.99^{100}
\end{equation}

さて、当たる確率がとても低いガチャを、滅茶苦茶たくさん回してさらに爆死する確率 $p_0$ を極限を使って表そう。

\begin{equation}
p_0=\lim_{n \to \infty} \left( 1-\frac{1}{n} \right)^{n}
\end{equation}

ここで新たな変数 $\displaystyle t=-\frac{1}{n}$ を導入する。 $\displaystyle n=-\frac{1}{t}$ であり、 $n \to \infty$ の時、 $t \to 0$ であるので、以下のように書き直せる。

\begin{eqnarray}
p_0&=&\lim_{n \to \infty} \left( 1-\frac{1}{n} \right)^{n}\\
&=&\lim_{t \to 0} \left( 1+t \right)^{-\frac{1}{t}}\\
&=&\lim_{t \to 0} \frac{1}{\left( 1+t \right)^{\frac{1}{t}}}
\end{eqnarray}

ここで右辺の分母はネイピア数eの定義に等しいので、結局 $p_0$ は次のように書ける。

\begin{equation}
\underline{p_0 = \frac{1}{e}}
\end{equation}

ガチャ大爆死の確率を計算していると突然 $e$ の定義式が現れ、式が単純になるのである。

検算

\begin{eqnarray}
p_0&=&\frac{1}{e}=\frac{1}{2.71828\cdots}=0.368\cdots
\end{eqnarray}

手順通り計算した爆死率とほぼ一致していることが分かる。

A4の宇宙

数学と物理をA4ノートに収まる範囲で。