ガチャ大爆死とネイピア数の関係
連ガチャ大爆死の確率
当たる確率1%の100連ガチャの爆死率 について以前書いた。では、当たる確率0.1%の1000連ガチャや、当たる確率0.01%の10000連ガチャの爆死率はどうなるだろうか?エクセルで計算してみる。
当たる確率1%の100連ガチャ
\begin{equation}
0.99^{100}=0.366\cdots
\end{equation}
当たる確率0.1%の1000連ガチャ
\begin{equation}
0.999^{1000}=0.368\cdots
\end{equation}
当たる確率0.01%の10000連ガチャ
\begin{equation}
0.9999^{10000}=0.368\cdots
\end{equation}
ほとんど変化せず、収束していそうな結果になる。
代数的表現
当たる確率の
連ガチャで大爆死する確率
は以下のように書ける。
\begin{equation}
p=\left( 1-\frac{1}{n} \right)^{n}
\end{equation}
上記、1%の100連ガチャの時はこんな感じ。
\begin{equation}
p=\left( 1-\frac{1}{100} \right)^{100}=0.99^{100}
\end{equation}
さて、当たる確率がとても低いガチャを、滅茶苦茶たくさん回してさらに爆死する確率を極限を使って表そう。
\begin{equation}
p_0=\lim_{n \to \infty} \left( 1-\frac{1}{n} \right)^{n}
\end{equation}
ここで新たな変数を導入する。
であり、
の時、
であるので、以下のように書き直せる。
\begin{eqnarray}
p_0&=&\lim_{n \to \infty} \left( 1-\frac{1}{n} \right)^{n}\\
&=&\lim_{t \to 0} \left( 1+t \right)^{-\frac{1}{t}}\\
&=&\lim_{t \to 0} \frac{1}{\left( 1+t \right)^{\frac{1}{t}}}
\end{eqnarray}
ここで右辺の分母はネイピア数eの定義 に等しいので、結局は次のように書ける。
\begin{equation}
\underline{p_0 = \frac{1}{e}}
\end{equation}
ガチャ大爆死の確率を計算していると突然の定義式が現れ、式が単純になるのである。
検算
\begin{eqnarray}
p_0&=&\frac{1}{e}=\frac{1}{2.71828\cdots}=0.368\cdots
\end{eqnarray}
手順通り計算した爆死率とほぼ一致していることが分かる。