細い輪の面積と長方形の面積

細い輪の面積を求めたい。

輪は、中心を同じくする大きい円と小さい円とに挟まれた領域と言えるので、大きい円の半径を、小さい円の半径をとすると、面積は以下の式で表せる。

\begin{equation}
S=\pi (r+dr)^2-\pi r^2
\end{equation}

式を展開する。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
S&=&\pi (\cancel{r^2}+2rdr+dr^2)-\cancel{\pi r^2}
\end{eqnarray}

ここで輪が細いことはが小さいことと等価である。しかしこの時、の項はさらに大幅に小さい値になるので無視できる。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
S&=&\pi(2rdr+\cancel{dr^2})\\
&=&2\pi r dr 
\end{eqnarray}

結局この値は円周長さを底辺とし、輪の太さを高さとする長方形の面積と等しい。が大きく、が小さいほどとの差は大きくなっていくので、この近似は正確になっていく。