ヒポクラテスの定理

問題

図のように、直角三角形ABC、辺ABを直径とする半円、辺BCを直径とする半円、辺CAを直径とする半円がある。図の青い領域の面積はいくつか？

回答 

⊿ABCの面積と3つの半円の面積を計算する。

\begin{eqnarray}
S_1&=&\frac{CA \times BC}{2}\\
S_2&=&\frac{1}{2}\pi\left(\frac{AB}{2}\right)^2\\
S_3&=&\frac{1}{2}\pi\left(\frac{BC}{2}\right)^2\\
S_4&=&\frac{1}{2}\pi\left(\frac{CA}{2}\right)^2\\
\end{eqnarray}

計算を進める。

\begin{eqnarray}
S_1&=&\frac{CA \cdot BC}{2}\\
S_2&=&\frac{\pi AB^2}{8}\\
S_3&=&\frac{\pi BC^2}{8}\\
S_4&=&\frac{\pi CA^2}{8}\\
\end{eqnarray}

ここで、青い部分の面積は以下のように計算できる。

\begin{eqnarray}
S&=&S_3+S_4-(S_2-S_1)\\
&=&S_1-S_2+S_3+S_4\\
&=&\frac{CA \cdot BC}{2}-\frac{\pi AB^2}{8}+\frac{\pi BC^2}{8}+\frac{\pi CA^2}{8}\\
&=&\frac{CA \cdot BC}{2}-\frac{\pi}{8}(BC^2+CA^2-AB^2)
\end{eqnarray}

三平方の定理より、であるので、カッコの中は相殺して0になる。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
S&=&\frac{CA \cdot BC}{2}-\frac{\pi}{8}(\cancel{BC^2}+\cancel{CA^2}-\cancel{AB^2})\\
&=&\frac{CA \cdot BC}{2}
\end{eqnarray}

青い部分の面積が求められた。

すなわち、青い部分の面積は直角三角形ABCの面積に等しい。円を基本とした形状でありながら、その面積中には円周率を含まないのである。