A4の宇宙

数学と物理をA4ノートに収まる範囲で。

自由落下運動を微分方程式で解く

物体が落下する時、どのような速度でどのような軌道をたどるかを微分方程式から導く。今回は空気抵抗を無視することにする。

 

まずは運動方程式を書く。物体の質量をm、物体の加速度をa、物体に働く力をfとおく。

\begin{eqnarray}
ma=f
\end{eqnarray}

 

物体には重力による引力だけが働くとする。重力加速度をgとすると、上方向を+として引力は-mgである。これを右辺のfに代入する。

\begin{eqnarray}
ma&=&-mg\\
a&=&-g
\end{eqnarray}

 

加速度aは位置xを時間tで二回微分したものと言える。xtで1回微分したものを\dot{x}、2回微分したものを\ddot{x}と書こう。

\begin{eqnarray}
\ddot{x}&=&-g
\end{eqnarray}

これで求めたい微分方程式ができた。

 

両辺をt積分する。

\begin{eqnarray}
\underline{\dot{x}=-gt+C_1}
\end{eqnarray}

速度を表す式が求められた。物体は加速度gで等加速度運動することが分かる。 また、t=0を代入すると\dot{x}=C_1であることから、任意定数C_1は物体の初速度であることが分かる。

 

さらに両辺をt積分する。

\begin{eqnarray}
\underline{x=-\frac{1}{2}gt^2+C_1t+C_2}
\end{eqnarray}

位置を表す式が求められた。物体は加速しながら移動するため、物体の位置はtの2次式になっている。t=0を代入すると、x=C_2であることから、任意定数C_2は物体の初期位置であることが分かる。

 

C_1=v_0, C_2=x_0と書いてやるとさらに分かりやすい。

\begin{eqnarray}
\underline{x=-\frac{1}{2}gt^2+v_0t+x_0}
\end{eqnarray}