自由落下運動を微分方程式で解く

物体が落下する時、どのような速度でどのような軌道をたどるかを微分方程式から導く。今回は空気抵抗を無視することにする。

まずは運動方程式を書く。物体の質量を、物体の加速度を、物体に働く力をとおく。

\begin{eqnarray}
ma=f
\end{eqnarray}

物体には重力による引力だけが働くとする。重力加速度をとすると、上方向をとして引力はである。これを右辺のに代入する。

\begin{eqnarray}
ma&=&-mg\\
a&=&-g
\end{eqnarray}

加速度は位置を時間で二回微分したものと言える。をで1回微分したものを、2回微分したものをと書こう。

\begin{eqnarray}
\ddot{x}&=&-g
\end{eqnarray}

これで求めたい微分方程式ができた。

両辺をで積分する。

\begin{eqnarray}
\underline{\dot{x}=-gt+C_1}
\end{eqnarray}

速度を表す式が求められた。物体は加速度で等加速度運動することが分かる。 また、を代入するとであることから、任意定数は物体の初速度であることが分かる。

さらに両辺をで積分する。

\begin{eqnarray}
\underline{x=-\frac{1}{2}gt^2+C_1t+C_2}
\end{eqnarray}

位置を表す式が求められた。物体は加速しながら移動するため、物体の位置はの2次式になっている。を代入すると、であることから、任意定数は物体の初期位置であることが分かる。

と書いてやるとさらに分かりやすい。

\begin{eqnarray}
\underline{x=-\frac{1}{2}gt^2+v_0t+x_0}
\end{eqnarray}