等躍度運動

等加速度運動

以前、空気抵抗を無視した自由落下運動、すなわち等加速度運動について書いた。

例えば宇宙空間でロケットを操縦しているとき、フットペダルを一定量踏めば、ブースターが一定の推力 $f$ を発揮し、ロケットは $f=ma$ すなわち $a=\frac{f}{m}$ の加速度で等加速度運動するだろう。

しかし、実際にはフットペダルをいきなり一定量踏むのではなく、徐々に踏み込んでいくことになる。その間、推力 $f$ は増加していくので加速度 $a$ も一定にはならず、やはり一定の変化率で増加していく。

加速度 $a$ が一定の割合で時間変化していく様子を微分方程式で表す。この比例定数、すなわち加速度の時間変化率を躍度(jerk)と言い、 $j$ と書く。

\begin{equation}
\dot{a}=j
\end{equation}

両辺を時間 $t$ で積分していくと、速度 $v$ や位置 $x$ を求めることができる

加速度 $a$ を求める。

\begin{eqnarray}
\int \dot{a} dt&=&\int j dt\\
a &=& j t+C_1 \tag{1}
\end{eqnarray}

速度 $v$ を求める。

\begin{eqnarray}
\int a dt&=&\int (j t+C_1) dt\\
v &=& \frac{1}{2}j t^2+C_1t+C_2 \tag{2}
\end{eqnarray}

位置 $x$ を求める。

\begin{eqnarray}
\int v dt&=&\int \frac{1}{2}j t^2+C_1t+C_2 dt\\
x &=& \frac{1}{6}j t^3+\frac{1}{2}C_1t^2+C_2t+C_3 \tag{3}
\end{eqnarray}

微分方程式を解いて位置 $x$ が求められた。

式の分析

式(1), (2), (3)にそれぞれ $t=0$ を代入することにより、任意定数 $C_1$ 、 $C_2$ 、 $C_3$ がそれぞれ $t=0$ の時の $a$ , $v$ , $x$ を表すことが分かる。分かりやすいように $C_1=a_0$ 、 $C_2=v_0$ 、 $C_3=x_0$ と書き直す。