ダランベールの収束判定法

概要

ある数列を考えたとき、その級数(=無限和)は無限大に発散するのか、それともある値に収束するのかを確認したい。どうすればよいか？

\begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^{\infty}a_n
\end{eqnarray}

結論から言えば、数列が以下の条件を満たすとき、級数はどこかの値に収束する。

\begin{eqnarray}
\lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} < 1
\end{eqnarray}

以下の条件を満たすとき、級数は発散する。

\begin{eqnarray}
\lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} > 1
\end{eqnarray}

以下の条件を満たすときは、収束することも発散することもあり、判定できない。

\begin{eqnarray}
\lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = 1
\end{eqnarray}

導出

これは単純に「が大きい時にだんだんが小さくなる傾向にある級数は収束する」と言っているように見えるが、実際には調和級数など、その傾向にあっても発散する級数はある。

ダランベールの判定法は等比数列の和と比較することにより、収束の判定を行っているのである。

等比数列の和の公式を再掲する。

\begin{equation}
\sum_{k=0}^nr^ka_0=\frac{a_0(1-r^{n+1})}{1-r}
\end{equation}

この式は明らかにの時収束し、の時に無限大に発散する。

すなわち、「公比の絶対値が1より小さい等比数列は収束する」「公比の絶対値が1より大きい等比数列は発散する」ということは代数的に明らかである。

ダランベールの判定法に用いたという式は、において公比の絶対値に相当する値を探ることに他ならない。

この仮想的な公比の絶対値が1を下回るとき、この級数はの等比級数よりも小さいので、収束することが分かるのである。

逆に、仮想公比の絶対値が1を上回れば、の等比級数よりも大きいので、発散することが分かる。

例題

級数が収束するか判定する。

ダランベールの判定法を用いて

\begin{eqnarray} \require{cancel}
\lim_{n \to \infty} \frac{ \left| \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \right| }{\left| \frac{2^{n}}{n!} \right| }&=&\lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1}n!}{2^n (n+1)!}\\
&=&\lim_{n \to \infty} \frac{2^{\cancel{n}+1}\xcancel{n!}}{\cancel{2^n} (n+1)\xcancel{!}}\\
&=&\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n+1}\\
&=& 0
\end{eqnarray}

判定式がより小さくなったので、この級数は収束する。