調和級数の収束判定

$\displaystyle a_n =\frac{1}{n}$ の無限和、 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ が収束するか考える。この無限和は調和級数と呼ばれる。

この数列 $a_n$ は、明らかに $n$ を増加させるとだんだん小さくなっていくが、項を無限に足したら発散するかも知れない。

ダランベールの判定法

まずダランベールの判定法で収束するかを判定してみる。

\begin{eqnarray}
\lim_{n \to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}&=& \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}\\
&=&\lim_{n \to \infty}\frac{n}{n+1}\\
&=&\lim_{n \to \infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\\
&=&1
\end{eqnarray}

分子と分母を $n$ で割ると判定式は $1$ に等しくなり、収束するとも発散するとも言い切れない。そのため別の方法で収束するか判定する必要がある。

比較判定法

比較判定法で下から抑える作戦で行く。

$a_n$ の無限和を書き下す。

\begin{eqnarray}
\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\cdots
\end{eqnarray}

明らかに $a_n$ より小さい別の数列 $b_n$ の和を考える。

\begin{eqnarray}
\sum_{n=1}^{\infty}b_n=\underline{\frac{1}{1}}+\underline{\frac{1}{2}}+\frac{1}{4}+\underline{\frac{1}{4}}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\underline{\frac{1}{8}}+\frac{1}{16}+\cdots
\end{eqnarray}

$b_n$ は $n=1,2,4,8,16, \cdots$ 項目の後に、項の大きさを $\displaystyle \frac{1}{2}$ するような数列である。アンダーラインが引かれた項は $a_n$ と等しく、引かれていない項は $a_n$ より小さい。

そのため以下の不等式が成り立つ。

\begin{eqnarray}
\sum_{n=1}^{\infty} a_n > \sum_{n=1}^{\infty}b_n
\end{eqnarray}

さらに、並んだ同一の分数は以下のようにまとめることができる。

\begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^{\infty}b_n=\underline{\frac{1}{1}}+\frac{1}{2}+\overbrace{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}}+\overbrace{\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}}^{\frac{1}{2}}+\overbrace{\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{16}}^{\frac{1}{2}}+\cdots
\end{eqnarray}

すなわち、以下のように書ける。

\begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^{\infty}b_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots
\end{eqnarray}

この式より $b_n$ の和は無限大に発散することが分かる。

そのため、以下の式が成り立つ。

\begin{equation}
\underline{\sum_{n=1}^{\infty} a_n > \sum_{n=1}^{\infty}b_n=\infty}
\end{equation}

この関係より、 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} b_n$ より大きい $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_n$ も無限大に発散することが分かる。