ln(x+1)のマクローリン展開と収束半径その1

概要

基準点を $x=0$ としたテイラー展開は特に有用なことがあり、マクローリン展開と呼ばれる。 $\ln(x+1)$ のマクローリン展開を用いて、収束半径の概念を説明する。

導出

$x=0$ を基準にして $f(x)=\ln(x+1)$ のテイラー展開を行う。

$f(x)$ を微分して $x=0$ を代入し、 $f^{(n)}(0)$ を求める。

まず $f(0)=\ln1=0$ である。

一階微分

\begin{eqnarray}
f'(x)&=&\frac{1}{x+1}(x+1)'\\
&=&\frac{1}{x+1}\\
f'(0)&=&1\\
\end{eqnarray}

二階微分

\begin{eqnarray}
f''(x)&=&-\frac{1}{(x+1)^2}(x+1)'\\
&=&-\frac{1}{(x+1)^2}\\
f''(0)&=&-1\\
\end{eqnarray}

三階微分
\begin{eqnarray}
f'''(x)&=&\frac{2 \cdot 1}{(x+1)^3}(x+1)'\\
&=&\frac{2!}{(x+1)^3}\\
f'''(0)&=&2!\\
\end{eqnarray}

四階微分
\begin{eqnarray}
f''''(x)&=&-\frac{3\cdot2\cdot1}{(x+1)^4}(x+1)'\\
&=&-\frac{3!}{(x+1)^4}\\
f''''(0)&=&-3!\\
\end{eqnarray}

$n$ 階微分
\begin{eqnarray}
f^{(n)}(x)&=&\frac{(-1)^{n-1} (n-1)!}{(x+1)^n}\\
f^{(n)}(0)&=&(-1)^{n-1} (n-1)!\\
\end{eqnarray}

計算した $f^{(n)}(0)$ をマクローリン展開の式に代入する。

\begin{eqnarray}
f(x)&=&f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2!}f''(0)x^2+\frac{1}{3!}f'''(0)x^3+\frac{1}{4!}f''''(0)x^4+\cdots\\
&=&0+x-\frac{1}{2}x^2+\frac{2!}{3!}x^3-\frac{3!}{4!}x^4+\cdots\\
&=&x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+\cdots\\
&=&\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n
\end{eqnarray}

綺麗にまとまった。

確認

元の関数 $f(x)=\ln(x+1)$ とマクローリン展開された $\displaystyle f(x) = \sum_{n=1}^{5} \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n$ および $\displaystyle f(x) = \sum_{n=1}^{13} \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n$ を重ねてプロットしてみる。無限次までは扱えないので5次までと、13次までの2つの和を用いた。