ln(x+1)のマクローリン展開と収束半径その2

概要

前回に続いて、 $\ln{(x+1)}$ のマクローリン展開( $x=0$ を基準としたテイラー展開)を計算する。

$f(x)=\ln{(x+1)}$ をマクローリン展開すると以下のようなべき級数で表せることを前回示した。

\begin{eqnarray}
f(x)&=&x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+\cdots\\
&=&\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n
\end{eqnarray}

収束半径の導出

$\ln{(x+1)}$ をマクローリン展開したべき級数の収束半径を導出する。

$\displaystyle a_n=\frac{(-1)^{n-1}}{n}$ 、 $\displaystyle a_{n+1}=\frac{(-1)^n}{n+1}$ であるので、判定式は以下のように書ける。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
\lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|{a_n}|}&=&\lim_{n \to \infty} \frac{ \left| \frac{(-1)^n}{n+1} \right|}{ \left| \frac{(-1)^{n-1}}{n} \right|}\\
&=&\lim_{n \to \infty} \left| \frac{(-1)^n n }{ (-1)^{n-1} (n+1) }\right| \\
&=&\lim_{n \to \infty} \left| \frac{ (-1)^\cancel{n} n }{ \cancel{(-1)^{n-1}} (n+1) }\right|\\
&=&\lim_{n \to \infty} \left| \frac{ -1 }{ \left(1+\frac{1}{n} \right) }\right|\\
&=& |-1|\\
&=& 1
\end{eqnarray}

すなわち、判定値 $L=1$ であり、べき級数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n$ の収束半径は $\displaystyle \frac{1}{L}=\frac{1}{1}=1$ である。