A4の宇宙

数学と物理をA4ノートに収まる範囲で。

cos xのマクローリン展開

概要

基準点をx=0としたテイラー展開は特に有用なことがあり、マクローリン展開と呼ばれる。 \cos xマクローリン展開を行う。

 

導出 

f(x)=\cos x微分してx=0を代入し、f^{(n)}(0)を求める。

まずf(0)=\cos 0=1である。

 

一階微分

\begin{eqnarray}
f'(x)&=&-\sin x\\
f'(0)&=&0\\
\end{eqnarray}

 

二階微分

\begin{eqnarray}
f''(x)&=&-\cos x\\
f''(0)&=&-1\\
\end{eqnarray}

 

三階微分 
\begin{eqnarray}
f'''(x)&=&\sin x\\
f'''(0)&=&0\\
\end{eqnarray}

 

四階微分 
\begin{eqnarray}
f^{(4)}(x)&=&\cos x\\
f^{(4)}(0)&=&1\\
\end{eqnarray}

 

計算したf^{(n)}(0)マクローリン展開の式に代入する。

\begin{eqnarray}
f(x)&=&f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots\\
&=&1+0\cdot x+\frac{-1}{2!}\cdot x^2+\frac{0}{3!}x^3+\frac{1}{4!}x^4+\cdots\\
&=&1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\frac{1}{6!}x^6+\cdots
\end{eqnarray}

 

 a_n=0となる項を飛ばし、nの代わりに新たな変数kを用いて\sumを書き直す。

\begin{eqnarray}
f(x)&=&1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\frac{1}{6!}x^6+\cdots\\
&=&\sum_{k=0}^{\infty}  \frac{(-1)^{k}}{(2k)!}x^{2k}\\
\end{eqnarray} 

綺麗にまとまった。

 

収束半径

導出式再計算

\cos xマクローリン展開したべき級数収束半径を導出する。しかし、今回は対象が通常のべき級数ではなく、偶数次の項だけを持つべき級数なので、導出式を再計算する必要がある。

 

偶数次べき数列a_k x^{2k}ダランベールの判定式に代入して級数\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_k x^{2k}の収束判定を行う。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
\lim_{k \to \infty} \frac{|a_{k+1}x^{2k+2}|}{|a_k x^{2k}|}&<&1\\
\lim_{k \to \infty} \frac{|a_{k+1}x^{\cancel{2k}+2}|}{|a_k \cancel{x^{2k}}|}&<&1\\
\lim_{k \to \infty} \frac{|a_{k+1}|}{|a_k|}|x^2|&<&1\\
|x^2|\lim_{k \to \infty} \frac{|a_{k+1}|}{|a_k|}&<&1
\end{eqnarray}

分子と分母のx^{2k}が打ち消し合い、x^2だけが残った。

 

\displaystyle \lim_{k \to \infty} \frac{|a_{k+1}|}{|a_k|}=Lと置いて両辺をLで割る。Lは絶対値同士の商なので不等号の向きは変わらない。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
|x^2|\lim_{k \to \infty} \frac{|a_{k+1}|}{|a_k|}&<&1\\
|x^2| L&<&1\\
|x^2| &<&\frac{1}{L}\\
-\frac{1}{\sqrt{L}}<x &<&\frac{1}{\sqrt{L}}\\
\end{eqnarray}

xの取りうる範囲が定まった。収束半径は\displaystyle \frac{1}{\sqrt{L}}と表せる。あとはこの\displaystyle L= \lim_{k \to \infty} \frac{|a_{k+1}|}{|a_k|}を求めればよい。

 

今回の式への適用

 \displaystyle a_k=\frac{(-1)^{k}}{(2k)!} \displaystyle a_{k+1}=\frac{(-1)^{k+1 }}{[2(k+1)]!}=\frac{(-1)^{k+1 }}{(2k+2)!}である。これらの値を代入してLを求める。
 

\begin{eqnarray} \require{cancel}
\lim_{k \to \infty} \frac{|a_{k+1}|}{|{a_k}|}&=&\lim_{k \to \infty} \frac{ \left| \frac{(-1)^{k+1 }}{(2k+2)!} \right|}{ \left| \frac{(-1)^{k}}{(2k)!} \right|}\\
&=&\lim_{k \to \infty} \left| \frac{(-1)^{k+1} (2k)! }{ (-1)^{k} (2k+2)! }\right| \\
&=&\lim_{k \to \infty} \left| \frac{(-1)^{\cancel{k}+1} (2k)! }{ \cancel{(-1)^{k}} (2k+2)! }\right| \\
&=&\lim_{k \to \infty} \left| \frac{ -1 }{ (2k+2)(2k+1) }\right|\\
&=& 0
\end{eqnarray}

 

 

すなわち、判定値L=0であり、収束半径は \displaystyle \frac{1}{\sqrt{L}}=\frac{1}{\sqrt{0}}=\inftyである。

 

これはマクローリン展開の次数が十分大きければ、どのようなxにおいても収束させることができることを意味する。本質的に \displaystyle \cos x=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\frac{1}{6!}x^6+\cdotsと表してよいのである。

 

確認

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元の関数f(x)=\cos xと、マクローリン展開した級数を6次と14次まで重ねてプロットした。ln(x+1)のマクローリン展開とは異なり、次数を増加させると収束する領域がどんどん広がっていき、収束半径が無限大であることと対応している。