cos xのマクローリン展開
概要
基準点をとしたテイラー展開は特に有用なことがあり、マクローリン展開と呼ばれる。
のマクローリン展開を行う。
導出
を微分して
を代入し、
を求める。
まずである。
一階微分
\begin{eqnarray}
f'(x)&=&-\sin x\\
f'(0)&=&0\\
\end{eqnarray}
二階微分
\begin{eqnarray}
f''(x)&=&-\cos x\\
f''(0)&=&-1\\
\end{eqnarray}
三階微分
\begin{eqnarray}
f'''(x)&=&\sin x\\
f'''(0)&=&0\\
\end{eqnarray}
四階微分
\begin{eqnarray}
f^{(4)}(x)&=&\cos x\\
f^{(4)}(0)&=&1\\
\end{eqnarray}
計算したをマクローリン展開の式に代入する。
\begin{eqnarray}
f(x)&=&f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots\\
&=&1+0\cdot x+\frac{-1}{2!}\cdot x^2+\frac{0}{3!}x^3+\frac{1}{4!}x^4+\cdots\\
&=&1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\frac{1}{6!}x^6+\cdots
\end{eqnarray}
となる項を飛ばし、
の代わりに新たな変数
を用いて
を書き直す。
\begin{eqnarray}
f(x)&=&1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\frac{1}{6!}x^6+\cdots\\
&=&\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{(2k)!}x^{2k}\\
\end{eqnarray}
綺麗にまとまった。
収束半径
導出式再計算
をマクローリン展開したべき級数の収束半径を導出する。しかし、今回は対象が通常のべき級数ではなく、偶数次の項だけを持つべき級数なので、導出式を再計算する必要がある。
偶数次べき数列をダランベールの判定式に代入して級数
の収束判定を行う。
\begin{eqnarray} \require{cancel}
\lim_{k \to \infty} \frac{|a_{k+1}x^{2k+2}|}{|a_k x^{2k}|}&<&1\\
\lim_{k \to \infty} \frac{|a_{k+1}x^{\cancel{2k}+2}|}{|a_k \cancel{x^{2k}}|}&<&1\\
\lim_{k \to \infty} \frac{|a_{k+1}|}{|a_k|}|x^2|&<&1\\
|x^2|\lim_{k \to \infty} \frac{|a_{k+1}|}{|a_k|}&<&1
\end{eqnarray}
分子と分母のが打ち消し合い、
だけが残った。
と置いて両辺を
で割る。
は絶対値同士の商なので不等号の向きは変わらない。
\begin{eqnarray} \require{cancel}
|x^2|\lim_{k \to \infty} \frac{|a_{k+1}|}{|a_k|}&<&1\\
|x^2| L&<&1\\
|x^2| &<&\frac{1}{L}\\
-\frac{1}{\sqrt{L}}<x &<&\frac{1}{\sqrt{L}}\\
\end{eqnarray}
の取りうる範囲が定まった。収束半径は
と表せる。あとはこの
を求めればよい。
今回の式への適用
、
である。これらの値を代入して
を求める。
\begin{eqnarray} \require{cancel}
\lim_{k \to \infty} \frac{|a_{k+1}|}{|{a_k}|}&=&\lim_{k \to \infty} \frac{ \left| \frac{(-1)^{k+1 }}{(2k+2)!} \right|}{ \left| \frac{(-1)^{k}}{(2k)!} \right|}\\
&=&\lim_{k \to \infty} \left| \frac{(-1)^{k+1} (2k)! }{ (-1)^{k} (2k+2)! }\right| \\
&=&\lim_{k \to \infty} \left| \frac{(-1)^{\cancel{k}+1} (2k)! }{ \cancel{(-1)^{k}} (2k+2)! }\right| \\
&=&\lim_{k \to \infty} \left| \frac{ -1 }{ (2k+2)(2k+1) }\right|\\
&=& 0
\end{eqnarray}
すなわち、判定値であり、収束半径は
である。
これはマクローリン展開の次数が十分大きければ、どのようなにおいても収束させることができることを意味する。本質的に
と表してよいのである。
確認
元の関数と、マクローリン展開した級数を6次と14次まで重ねてプロットした。ln(x+1)のマクローリン展開とは異なり、次数を増加させると収束する領域がどんどん広がっていき、収束半径が無限大であることと対応している。