オイラーの公式から導かれる三角関数の記法
概要
導出
オイラーの公式を再度書く。
\begin{eqnarray}
e^{ix}=\cos x+i\sin x
\end{eqnarray}
式中のを
に置き換えてみる。
\begin{eqnarray}
e^{-ix}&=&\cos (-x)+i\sin (-x)\\
&=&\cos x-i\sin x
\end{eqnarray}
は偶関数なので変化しない。
は奇関数なのでマイナスが付く。
マクローリン展開版の表記でも確認しておく。まず元の形。
\begin{eqnarray}
e^{ix}&=&\left(1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\cdots\right)+i\left(x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\cdots\right)\\
\end{eqnarray}
式中のを
に置き換えてみる。
\begin{eqnarray}
e^{-ix}&=&\left(1-\frac{1}{2!}(-x)^2+\frac{1}{4!}(-x)^4-\cdots\right)+i\left((-x)-\frac{1}{3!}(-x)^3+\frac{1}{5!}(-x)^5-\cdots\right)\\
&=&\left(1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\cdots\right)-i\left(x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\cdots\right)
\end{eqnarray}
実部にはが偶数次の項しかないので変化しない。虚部には奇数次の項しかないので結局虚部全体にマイナスが付き、同じ結果が得られた。
この結果を踏まえてを計算する。
\begin{eqnarray} \require{cancel}
e^{ix}+e^{-ix}&=&(\cos x+ i \sin x)+(\cos x-i\sin x)\\
&=&\cos x+ \cancel{i \sin x} + \cos x-\cancel{i\sin x}\\
&=& 2 \cos x
\end{eqnarray}
について式変形する。
\begin{eqnarray}
2 \cos x&=&e^{ix}+e^{-ix}\\
\cos x&=&\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}
\end{eqnarray}
の新たな記法が導かれた。
同様にを計算する。
\begin{eqnarray} \require{cancel}
e^{ix}-e^{-ix}&=&(\cos x+ i \sin x)-(\cos x-i\sin x)\\
&=&\cancel{\cos x}+ i \sin x - \cancel{\cos x}+i\sin x\\
&=& 2i \sin x
\end{eqnarray}
について式変形する。
\begin{eqnarray}
2i \sin x&=&e^{ix}-e^{-ix}\\
\sin x&=&\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}
\end{eqnarray}
の新たな記法が導かれた。