オイラーの公式から導かれる三角関数の記法

概要

オイラーの公式を受け入れると三角関数を別の形式で表せる。

導出

オイラーの公式を再度書く。

\begin{eqnarray}
e^{ix}=\cos x+i\sin x
\end{eqnarray}

式中の $x$ を $-x$ に置き換えてみる。

\begin{eqnarray}
e^{-ix}&=&\cos (-x)+i\sin (-x)\\
&=&\cos x-i\sin x
\end{eqnarray}

$\cos x$ は偶関数なので変化しない。 $\sin x$ は奇関数なのでマイナスが付く。

マクローリン展開版の表記でも確認しておく。まず元の形。

\begin{eqnarray}
e^{ix}&=&\left(1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\cdots\right)+i\left(x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\cdots\right)\\
\end{eqnarray}

式中の $x$ を $-x$ に置き換えてみる。

\begin{eqnarray}
e^{-ix}&=&\left(1-\frac{1}{2!}(-x)^2+\frac{1}{4!}(-x)^4-\cdots\right)+i\left((-x)-\frac{1}{3!}(-x)^3+\frac{1}{5!}(-x)^5-\cdots\right)\\
&=&\left(1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\cdots\right)-i\left(x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\cdots\right)
\end{eqnarray}

実部には $x$ が偶数次の項しかないので変化しない。虚部には奇数次の項しかないので結局虚部全体にマイナスが付き、同じ結果が得られた。

この結果を踏まえて $e^{ix}+e^{-ix}$ を計算する。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
e^{ix}+e^{-ix}&=&(\cos x+ i \sin x)+(\cos x-i\sin x)\\
&=&\cos x+ \cancel{i \sin x} + \cos x-\cancel{i\sin x}\\
&=& 2 \cos x
\end{eqnarray}

$\cos x$ について式変形する。

\begin{eqnarray}
2 \cos x&=&e^{ix}+e^{-ix}\\
\cos x&=&\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}
\end{eqnarray}

$\cos x$ の新たな記法が導かれた。

同様に $e^{ix}-e^{-ix}$ を計算する。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
e^{ix}-e^{-ix}&=&(\cos x+ i \sin x)-(\cos x-i\sin x)\\
&=&\cancel{\cos x}+ i \sin x - \cancel{\cos x}+i\sin x\\
&=& 2i \sin x
\end{eqnarray}

$\sin x$ について式変形する。

\begin{eqnarray}
2i \sin x&=&e^{ix}-e^{-ix}\\
\sin x&=&\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}
\end{eqnarray}

$\sin x$ の新たな記法が導かれた。