A4の宇宙

数学と物理をA4ノートに収まる範囲で。

x が0に近い時のsin x の性質 弧の長さを用いる方法

循環論法

 以前、扇型の面積を挟み打ちして\( \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} =1\)を導出した。この手法は分かりやすいが、実は循環論法の問題がある。

半径\(r\)を持つ円の面積が\(\pi r^2 \)であることは定義されたことや自明なことではない。証明するには三角関数積分が必要であり、その際に既に\( \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} =1\)を知っている必要があるためである。

対策

円周率\( \pi \)の定義は円の直径\( 2r \)と円周長の比であるので、半径\( r \)を持つ円の円周長が\(2\pi r \)なことは定義されたこととして使用しても良い。これを出発点として\( \displaystyle \frac{\sin x}{x} =1\)を導出すれば循環論法を回避できる。

導出

正n角形

半径\( r \)の円に内接する正\(n \)角形と外接する正\( n \)角形を考える。下図に\( n = 6 \)の場合を示した。

ここで、内接する正\( n \)角形、円、外接する正\( n \)角形の外周の長さをそれぞれ\( A \)、\( B \)、\( C \)とする。これらの大小関係を比較すると、明らかに以下の関係が成り立つ。 \[ A < B < C \]

下図で色をつけた3本の線の長さに注目する。

これらはそれぞれ\( A \)、\( B \)、\( C \)を\( 2n \)で割ったものなので、大小関係は維持される。 \[ \frac{ A }{2n }< \frac{ B }{ 2n } < \frac{ C }{ 2n } \]

これらの線の長さをを別の形式で表す。直角三角形の高さと弧の長さとして3本の線の長さを求める。

小さい直角三角形

これはすぐ分かる。 \[ \frac{ A }{ 2n }=r \sin x \]

切り取られる円弧

全体の円周\( 2\pi r \)に角度の割合\( \frac{ x }{ 2\pi } \)を掛けた\( rx \)が弧の長さになる。

\[ \frac{ B }{ 2n }=rx \]

大きい直角三角形

まず斜辺\( \displaystyle \frac{ r }{ \cos x } \)、次に高さ\( \displaystyle r\frac{ \sin x }{ \cos x } \)が導かれる。

\[ \frac{ C }{ 2n }=r \frac{ \sin x }{ \cos x } \]

これらの長さの極限

求めた線の長さを\( \frac{ A }{ 2n } \)、\( \frac{ B }{ 2n } \)、\( \frac{ C }{ 2n } \)に代入する。 \[ r\sin x< rx < r\frac{ \sin x }{ \cos x }\]

共通する\( r \)を打ち消す。 \[ \sin x< x < \frac{ \sin x }{ \cos x }\]

\( x\neq 0 \)として全体を\( \sin x \)で割る。 \[ 1< \frac{ x }{ \sin x } < \frac{ 1 }{ \cos x }\]

全体の逆数をとる。不等号は逆向きになる。 \[ 1> \frac{ \sin x }{ x } > \cos x \]

正\( n \)角形の対角線は\( 2\pi \)ラジアンを\( n \)等分するので、中心角\( x \)は、そのさらに半分で以下のように表せる。 \[ x=\frac{ 2\pi }{ 2n }=\frac{ \pi }{ n } \]

ここで、内接、外接する\( n \)角形を\( \infty \)角形に近づけていく。この時、中心角\( x \)は限りなく\( 0 \)に近づいていく。 \[ \lim_{x \to 0} 1> \lim_{x \to 0}\frac{ \sin x }{ x } > \lim_{x \to 0}\cos x \\ 1> \lim_{x \to 0}\frac{ \sin x }{ x } >1\]

挟み打ちの原理より\( \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{ \sin x }{ x } =1 \)が導かれた。