円の面積の導出

概要

以前、弧の長さを用いて導出した等式、を用いて、半径を持つ円の面積を導出する。

導出

半径の円に内接する正角形と円に外接する正角形を考える。の場合を図に示す。

下図のように、円と正角形をを等分して考える。

まず二つの直角三角形と切り取られる扇形の面積を、円の半径と中心角を用いて表す。

小さな直角三角形の面積

斜辺がと定まることから底辺と高さを導ける。

\begin{eqnarray} S_1&=&\frac{1}{2}\times r \cos x \times r \sin x\newline &=&\frac{r^2 \sin x \cos x}{2} \end{eqnarray}

切り取られる扇形の面積

未知の値。この値を求めてから倍すれば円の面積が求められる。

 

大きな直角三角形の面積

底辺がと定まることから斜辺、高さの順に導ける。

\begin{eqnarray} S_3&=&\frac{1}{2} \times r \times \frac{r \sin x}{\cos x}\ &=&\frac{r^2 \sin x}{2\cos x} \end{eqnarray}

面積の比較

図を重ねて比較すると明らかに以下の関係が成り立つ。

\begin{eqnarray} S_1<S_2<S_3 \end{eqnarray}

とに計算した値を代入する。

\begin{eqnarray} \frac{r^2 \sin x \cos x}{2}<S_2<\frac{r^2 \sin x}{2\cos x} \end{eqnarray}

として全体をで割り、の形を作る。

\begin{eqnarray} \frac{ r^2 }{ 2 } \frac{ \sin x }{ x } \cos x&<&\frac{S_2}{x}&<&\frac{r^2}{2 }\frac{ 1 }{ \cos x }\frac{ \sin x}{ x } \end{eqnarray}

ここで、角形を、角形に近づけていく。この時中心角は限りなくに近づく。

\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{ r^2 }{ 2 } \frac{ \sin x }{ x } \cos x&<& \lim_{x \to 0}\frac{S_2}{x}&<& \lim_{x \to 0}\frac{r^2}{2 }\frac{ 1 }{ \cos x }\frac{ \sin x}{ x } \end{eqnarray}

を用いる。

\begin{eqnarray} \require{cancel} \lim_{x \to 0} \frac{ r^2 }{ 2 } \cancel {\frac{ \sin x }{ x } }\cos x&<& \lim_{x \to 0}\frac{S_2}{x}&<& \lim_{x \to 0}\frac{r^2}{2 }\frac{ 1 }{ \cos x }\cancel{\frac{ \sin x}{ x }} \newline \lim_{x \to 0}\frac{ r^2 }{ 2 }\cos x&<& \lim_{x \to 0}\frac{S_2}{x}&<& \lim_{x \to 0} \frac{ r^2 }{ 2 }\frac{1}{\cos x} \newline \frac{ r^2 }{ 2 }&<& \lim_{x \to 0}\frac{S_2}{x}&<& \frac{ r^2 }{ 2 } \end{eqnarray}

はさみうちの原理により、以下の関係が求められた。 \begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}\frac{S_2}{x} = \frac{ r^2 }{ 2 } \end{eqnarray}

切り取る中心角は一周分の中心角を等分した角度なので、を代入する。

\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}\frac{S_2}{\frac{ \pi }{ n }} &=& \frac{ r^2 }{ 2 } \newline \lim_{n \to \infty}\frac{nS_2}{\pi } &=&\frac{ r^2 }{ 2 } \end{eqnarray}

両辺を倍する。

\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}2nS_2&=&\pi r^2 \end{eqnarray}

ここで左辺は、円を等分した扇型のを、再度倍したものなので、元の円の面積に等しい。半径を持つ円の面積がで表されることが導かれた。