A4の宇宙

数学と物理をA4ノートに収まる範囲で。

円の面積の導出

概要

 以前、弧の長さを用いて導出した等式、\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1 \)を用いて、円の面積を導出する。

導出

半径\( r \)の円に内接する正\( n \)角形と円に外接する正\( n \)角形を考える。\( n=6 \)の場合を図に示す。

 

下図のように、円と多角形をを\( 2n \)等分して考える。

まず二つの直角三角形と切り取られる扇形の面積を、円の半径rと中心角xを用いて表す。

 

小さな直角三角形の面積\( S_1 \)

斜辺が\( r \)と定まることから底辺と高さを導ける。

\[ \begin{eqnarray} S_1&=&\frac{1}{2}\times r \cos x \times r \sin x\newline &=&\frac{r^2 \sin x \cos x}{2} \end{eqnarray} \]  

切り取られる扇形の面積\( S_2 \)

未知の値。この値を求めたい。

 

大きな直角三角形の面積\( S_3 \)

底辺が\( r \)と定まることから斜辺、高さの順に導ける。

\[ \begin{eqnarray} S_3&=&\frac{1}{2} \times r \times \frac{r \sin x}{\cos x}\ &=&\frac{r^2 \sin x}{2\cos x} \end{eqnarray} \]  

面積の比較

図を比較すると明らかに以下の関係が成り立つ。

\[ \begin{eqnarray} S_1<S_2<S_3 \end{eqnarray} \]  

\( S_1 \)と\( S_3 \)に計算した値を代入する。

\[ \begin{eqnarray} \frac{r^2 \sin x \cos x}{2}<S_2<\frac{r^2 \sin x}{2\cos x} \end{eqnarray} \]  

\( x > 0 \)として全体を\( x \)で割り、\( \displaystyle \frac{ \sin x }{ x } \)の形を作る。

\[ \begin{eqnarray} \frac{ r^2 }{ 2 } \frac{ \sin x }{ x } \cos x&<&\frac{S_2}{x}&<&\frac{r^2}{2 }\frac{ 1 }{ \cos x }\frac{ \sin x}{ x } \end{eqnarray} \]  

ここで、\( n \)角形を、\( \infty \)角形に近づけていく。\( \displaystyle x=\frac{ 2\pi }{ 2n }=\frac{ \pi }{ n } \)なので、この時\( x \)は限りなく\( 0 \)に近づく。

\[ \begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{ r^2 }{ 2 } \frac{ \sin x }{ x } \cos x&<& \lim_{x \to 0}\frac{S_2}{x}&<& \lim_{x \to 0}\frac{r^2}{2 }\frac{ 1 }{ \cos x }\frac{ \sin x}{ x } \end{eqnarray} \]  

\( \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{ \sin x }{x }=1 \)を用いる。 \[ \begin{eqnarray} \require{cancel} \lim_{x \to 0} \frac{ r^2 }{ 2 } \cancel {\frac{ \sin x }{ x } }\cos x&<& \lim_{x \to 0}\frac{S_2}{x}&<& \lim_{x \to 0}\frac{r^2}{2 }\frac{ 1 }{ \cos x }\cancel{\frac{ \sin x}{ x }} \newline \lim_{x \to 0}\frac{ r^2 }{ 2 }\cos x&<& \lim_{x \to 0}\frac{S_2}{x}&<& \lim_{x \to 0} \frac{ r^2 }{ 2 }\frac{1}{\cos x} \newline \frac{ r^2 }{ 2 }&<& \lim_{x \to 0}\frac{S_2}{x}&<& \frac{ r^2 }{ 2 } \end{eqnarray} \]  

 はさみうちの原理により、以下の関係が求められた。 \[ \begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}\frac{S_2}{x} = \frac{ r^2 }{ 2 } \end{eqnarray} \]  

 \(\displaystyle x=\frac{ \pi }{ n } \)を代入する。 \[ \begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}\frac{S_2}{\frac{ \pi }{ n }} &=& \frac{ r^2 }{ 2 } \newline \lim_{n \to \infty}\frac{nS_2}{\pi } &=&\frac{ r^2 }{ 2 } \end{eqnarray} \]

両辺を\( 2\pi \)倍する。 \[ \begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}2nS_2&=&\pi r^2 \end{eqnarray} \]

ここで左辺は、円を\( 2n \)等分した扇型の\( S_2 \)を、再度\( 2n \)倍したものなので、元の円の面積に等しい。半径\( r \)を持つ円の面積が\( \pi r^2 \)で表されることが導かれた。