バーゼル問題 - A4の宇宙

概要

$s$ 次ゼータ関数 $\displaystyle \zeta(s)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^s}$ の収束判定を行いたい。これまでに $\zeta(1)$ は無限大に発散し、 $\zeta(2)$ は2よりも小さい数に収束することを示してきた。

$\zeta(2)$ が実際いくつに収束するのかを求める。以下に $\zeta(2)$ を書き下しておく。

\begin{eqnarray} \zeta(2)&=&\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}\ &=&\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots \end{eqnarray}

導出

$\sin x$ のマクローリン展開を書き下す。

\begin{eqnarray} \sin x&=&x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7+\cdots\ \end{eqnarray}

$x \neq 0$ として、両辺を $x$ で割る。

\begin{eqnarray} \frac{\sin x}{x}&=&1-\frac{1}{3!}x^2+\frac{1}{5!}x^4-\frac{1}{7!}x^6+\cdots \end{eqnarray}

右辺の無限べき関数を因数分解したい。どうすれば良いだろうか？

べき関数 $\displaystyle y = \sum_{n=0}^{\infty} {a_n} x^n$ が $x$ 軸と交差する点、 $\pm \pi, \pm 2\pi, \pm 3\pi, \cdots$ を用いて、右辺を因数分解できる。

\begin{eqnarray} \frac{\sin x}{x}&=&\left( 1-\frac{x}{\pi} \right) \left( 1+\frac{x}{\pi}\right) \left( 1-\frac{x}{2\pi}\right) \left( 1+\frac{x}{2\pi}\right)\left( 1-\frac{x}{3\pi}\right) \left( 1+\frac{x}{3\pi}\right)\cdots \end{eqnarray}

※ この時、右辺を定数倍したものも解を満たすが、 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin {x}}{x}=1$ を用いて本式に定まる。

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ を用いて右辺を変形する。 \begin{eqnarray} \frac{\sin x}{x}&=&\left( 1-\frac{x^2}{\pi^2}\right)\left( 1-\frac{x^2}{2^2\pi^2}\right)\left( 1-\frac{x^2}{3^2\pi^2}\right)\cdots\\ &=&1- \left( \frac{1}{\pi^2}+\frac{1}{2^2\pi^2} + \frac{1}{3^2\pi^2} \cdots \right) x^2 + \cdots \end{eqnarray} 展開して昇べきの順にまとめた。

マクローリン展開形式と昇べき形式の $x^2$ の項を比較する。これらは等しいはずなので以下が成り立つ。 \begin{eqnarray} \frac{1}{3!} &=& \frac{1}{\pi^2}+\frac{1}{2^2\pi^2} + \frac{1}{3^2\pi^2}+\cdots \\ \frac{1}{6} &=& \frac{1}{\pi^2} \left( \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots \right)\\ \frac{\pi^2}{6} &=& \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots \\ \end{eqnarray}

ここで右辺は $\zeta(2)$ の定義そのものであるので、以下のように表せる。 \begin{eqnarray} \displaystyle \zeta(2)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6} \\ \end{eqnarray}

また、 $\displaystyle \frac{\pi^2}{6}=1.64 \cdots$ であるので、 $\zeta(2)$ は2よりも小さい数に収束することが確かめられた。