半減期を微分方程式で表す その2

概要

前回、放射性物質の個数を表す微分方程式を導いた。微分方程式を解いて放射性物質が減っていく様子を式で表す。

式

解きたい微分方程式をもう一度書く。

\begin{eqnarray}
\frac{dN(t)}{dt}=-\lambda N(t)
\end{eqnarray}

変数分離法で解く。として、両辺をで割る。

\begin{eqnarray}
\frac{1}{N(t)}\frac{dN(t)}{dt}=-\lambda
\end{eqnarray}

両辺をで積分する。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
\int \frac{1}{N(t)}\frac{dN(t)}{dt} dt&=& \int -\lambda dt \\
\int \frac{1}{N(t)}\frac{dN(t)}{\cancel{dt}} \cancel{dt}&=& \int -\lambda dt
\end{eqnarray}

積分を実行する。は任意定数である。

\begin{eqnarray}
\ln |N(t)|=-\lambda t + C
\end{eqnarray}

指数関数として書き直す。

\begin{eqnarray}
|N(t)|&=&e^{-\lambda t +C}\\
N(t)&=&\pm e^{-\lambda t +C}\\
N(t)&=&\pm e^Ce^{-\lambda t}\\
N(t)&=&Ce^{-\lambda t}
\end{eqnarray}

を改めてと置きなおした。

を考えてみる。

\begin{eqnarray}
N(0)&=&C e^{-\lambda 0}\\
N(0)&=&C
\end{eqnarray}

すなわち、積分定数は放射性物質の初期個数を表すので、と書くことにする。

\begin{eqnarray}
N(t)=N_0 e^{-\lambda t}
\end{eqnarray}

一般解が導かれた。

より半減期が分かりやすいように指数関数の底をからに変換して書き直す。式変形のため、以下のように置いておく。

\begin{eqnarray}
e^{- \lambda t}=y
\end{eqnarray}

両辺のを取る。

\begin{eqnarray}
\log_2 e^{- \lambda t}=\log_2 y\\
- \lambda t \log_2 e=\log_2 y
\end{eqnarray}

について整理する。

\begin{eqnarray}
y=2^{- \lambda t \log_2 e}
\end{eqnarray}

を代入する。

\begin{eqnarray}
e^{-\lambda t}=2^{- \lambda t \log_2 e}
\end{eqnarray}

指数関数の基数をからに変換できた。

であるので、これを代入する。

\begin{eqnarray}
N(t)&=&N_0 e^{-\lambda t}\\
&=&N_0 2^{-1.44\lambda t}
\end{eqnarray}

放射性物質の個数を表す式が求められた。

がの半分になる時間は、にかかる指数がになる時なので、

\begin{eqnarray}
-1.44 \lambda t_\rm{h} &=& -1\\
t_\rm{h}&=&\frac{1}{1.44 \lambda}
\end{eqnarray}

が半減期を表す。は崩壊しやすさを表す正の比例定数であった。それが大きいほど半減期が短くなることが式に表れている。

さらにを代入すれば、次のように短く書ける。

\begin{eqnarray}
N(t)&=&N_0 2^{-1.44\lambda t}\\
&=&N_0 2^{-\frac{t}{t_\rm{h}}}
\end{eqnarray}

にかかる指数は、経過時間と半減期の比率になっているので、これらの単位が同じなら計算可能である。SI単位系の時間は「秒」だが、両方とも「年」としてもよいのである。これは崩壊の比例定数の時間単位を任意にとって良いことに対応している。