半減期を微分方程式で表す その2
概要
前回、放射性物質の個数を表す微分方程式を導いた。微分方程式を解いて放射性物質が減っていく様子を式で表す。
式
解きたい微分方程式をもう一度書く。
\begin{eqnarray}
\frac{dN(t)}{dt}=-\lambda N(t)
\end{eqnarray}
変数分離法で解く。として、両辺を
で割る。
\begin{eqnarray}
\frac{1}{N(t)}\frac{dN(t)}{dt}=-\lambda
\end{eqnarray}
両辺をで積分する。
\begin{eqnarray} \require{cancel}
\int \frac{1}{N(t)}\frac{dN(t)}{dt} dt&=& \int -\lambda dt \\
\int \frac{1}{N(t)}\frac{dN(t)}{\cancel{dt}} \cancel{dt}&=& \int -\lambda dt
\end{eqnarray}
積分を実行する。は任意定数である。
\begin{eqnarray}
\ln |N(t)|=-\lambda t + C
\end{eqnarray}
指数関数として書き直す。
\begin{eqnarray}
|N(t)|&=&e^{-\lambda t +C}\\
N(t)&=&\pm e^{-\lambda t +C}\\
N(t)&=&\pm e^Ce^{-\lambda t}\\
N(t)&=&Ce^{-\lambda t}
\end{eqnarray}
を改めて
と置きなおした。
を考えてみる。
\begin{eqnarray}
N(0)&=&C e^{-\lambda 0}\\
N(0)&=&C
\end{eqnarray}
すなわち、積分定数は放射性物質の初期個数を表すので、
と書くことにする。
\begin{eqnarray}
N(t)=N_0 e^{-\lambda t}
\end{eqnarray}
一般解が導かれた。
より半減期が分かりやすいように指数関数の底をから
に変換して書き直す。式変形のため、以下のように置いておく。
\begin{eqnarray}
e^{- \lambda t}=y
\end{eqnarray}
両辺のを取る。
\begin{eqnarray}
\log_2 e^{- \lambda t}=\log_2 y\\
- \lambda t \log_2 e=\log_2 y
\end{eqnarray}
について整理する。
\begin{eqnarray}
y=2^{- \lambda t \log_2 e}
\end{eqnarray}
を代入する。
\begin{eqnarray}
e^{-\lambda t}=2^{- \lambda t \log_2 e}
\end{eqnarray}
指数関数の基数をから
に変換できた。
であるので、これを代入する。
\begin{eqnarray}
N(t)&=&N_0 e^{-\lambda t}\\
&=&N_0 2^{-1.44\lambda t}
\end{eqnarray}
放射性物質の個数を表す式が求められた。
が
の半分になる時間
は、
にかかる指数
が
になる時なので、
\begin{eqnarray}
-1.44 \lambda t_\rm{h} &=& -1\\
t_\rm{h}&=&\frac{1}{1.44 \lambda}
\end{eqnarray}
が半減期を表す。は崩壊しやすさを表す正の比例定数であった。それが大きいほど半減期
が短くなることが式に表れている。
さらにを代入すれば、次のように短く書ける。
\begin{eqnarray}
N(t)&=&N_0 2^{-1.44\lambda t}\\
&=&N_0 2^{-\frac{t}{t_\rm{h}}}
\end{eqnarray}
にかかる指数は、経過時間
と半減期
の比率になっているので、これらの単位が同じなら計算可能である。SI単位系の時間は「秒」だが、両方とも「年」としてもよいのである。これは崩壊の比例定数
の時間単位を任意にとって良いことに対応している。