運動エネルギーの定義が(1/2)mv^2なのはなぜか

概要

運動エネルギーは以下のように定義されている。

\begin{eqnarray}
K=\frac{1}{2}mv^2
\end{eqnarray}

この式はある物体の運動エネルギーが、その質量と速度の2乗に比例することを表す。しかし、係数としてが掛かっている。を運動エネルギーの定義としなかったのはなぜだろうか？

係数をとするのが合理的なことを、等加速度運動の式2種と、運動方程式を用いて導く。

導出

一定の力を受け、等加速度直線運動する物体を考える。物体の速度を表す式は以下のように書ける。時刻を、加速度を、初速度をとする。

\begin{eqnarray}
v=v_0+at \tag{1}
\end{eqnarray}

物体の位置を表す式は以下のように書ける。初期位置をとする。

\begin{eqnarray}
x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2 \tag{2}
\end{eqnarray}

式(1)と式(2)からを消去する。式(1)をについて変形する。

\begin{eqnarray}
at&=&v-v_0 \\
t&=&\frac{v-v_0}{a} \tag{1'}
\end{eqnarray}

これを式(2)に代入する。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
x&=&x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2 \tag{2} \\
x&=&x_0+v_0\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+\frac{1}{2}a \left( \frac{v-v_0}{a} \right)^2 \\
x&=&x_0+\frac{v_0v-v_0^2}{a}+\frac{1}{2a} \left( v-v_0 \right)^2 \\
x&=&x_0+\frac{\cancel{v_0v}-v_0^2}{a}+\frac{v^2-\cancel{2v_0v}+v_0^2}{2a}  \\
x&=&x_0+\frac{v^2-v_0^2}{2a}  \\
x-x_0&=&\frac{v^2-v_0^2}{2a} \tag{3}
\end{eqnarray}

式からが消え、との関係が得られた。

運動方程式より、である。ここでは物体が及ぼされる力、は物体の質量である。これを式(3)に代入してを消去する。

\begin{eqnarray}
x-x_0&=&\frac{v^2-v_0^2}{2a} \tag{3}\\
x-x_0&=&\frac{v^2-v_0^2}{2\frac{f}{m}} \\
f(x-x_0)&=&\frac{m(v^2-v_0^2)}{2} \\
f(x-x_0)&=&\frac{1}{2}m(v^2-v_0^2) \\
\end{eqnarray}

左辺は物体に力を及ぼして、座標からに動かしたときの仕事であり、右辺は質量の物体の速度がからに変化したときの運動エネルギーの変化に等しい。この式は「物体が外部から仕事を受けると、それに相当して運動エネルギーが変化する」ことを表している。

つまり、そもそも仕事と等価にするために運動エネルギーの定義が決まっていて、その計算過程で係数が現れるのである。また、のそもそもの出どころは等加速度運動で位置を表す式の中にある項であることが分かる。