運動エネルギーの定義が(1/2)mv^2なのはなぜか
概要
運動エネルギーは以下のように定義されている。
\begin{eqnarray}
K=\frac{1}{2}mv^2
\end{eqnarray}
この式はある物体の運動エネルギーが、その質量と速度の2乗
に比例することを表す。しかし、係数として
が掛かっている。
を運動エネルギーの定義としなかったのはなぜだろうか?
係数をとするのが合理的なことを、等加速度運動の式2種と、運動方程式を用いて導く。
導出
一定の力を受け、等加速度直線運動する物体を考える。物体の速度
を表す式は以下のように書ける。時刻を
、加速度を
、初速度を
とする。
\begin{eqnarray}
v=v_0+at \tag{1}
\end{eqnarray}
物体の位置を表す式は以下のように書ける。初期位置を
とする。
\begin{eqnarray}
x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2 \tag{2}
\end{eqnarray}
式(1)と式(2)からを消去する。式(1)を
について変形する。
\begin{eqnarray}
at&=&v-v_0 \\
t&=&\frac{v-v_0}{a} \tag{1'}
\end{eqnarray}
これを式(2)に代入する。
\begin{eqnarray} \require{cancel}
x&=&x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2 \tag{2} \\
x&=&x_0+v_0\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+\frac{1}{2}a \left( \frac{v-v_0}{a} \right)^2 \\
x&=&x_0+\frac{v_0v-v_0^2}{a}+\frac{1}{2a} \left( v-v_0 \right)^2 \\
x&=&x_0+\frac{\cancel{v_0v}-v_0^2}{a}+\frac{v^2-\cancel{2v_0v}+v_0^2}{2a} \\
x&=&x_0+\frac{v^2-v_0^2}{2a} \\
x-x_0&=&\frac{v^2-v_0^2}{2a} \tag{3}
\end{eqnarray}
式からが消え、
と
の関係が得られた。
運動方程式より、
である。ここで
は物体が及ぼされる力、
は物体の質量である。これを式(3)に代入して
を消去する。
\begin{eqnarray}
x-x_0&=&\frac{v^2-v_0^2}{2a} \tag{3}\\
x-x_0&=&\frac{v^2-v_0^2}{2\frac{f}{m}} \\
f(x-x_0)&=&\frac{m(v^2-v_0^2)}{2} \\
f(x-x_0)&=&\frac{1}{2}m(v^2-v_0^2) \\
\end{eqnarray}
左辺は物体に力を及ぼして、座標
から
に動かしたときの仕事であり、右辺は質量
の物体の速度が
から
に変化したときの運動エネルギーの変化に等しい。この式は「物体が外部から仕事を受けると、それに相当して運動エネルギーが変化する」ことを表している。
つまり、そもそも仕事と等価にするために運動エネルギーの定義が決まっていて、その計算過程で係数が現れるのである。また、
のそもそもの出どころは等加速度運動で位置
を表す式の中にある項
であることが分かる。