A4の宇宙

数学と物理をA4ノートに収まる範囲で。

マクスウェル方程式を導く準備

マクスウェル方程式とは

 電磁気に関する実験的事実をスタートとして、論理的考察(電場と磁場)を加え、微分方程式で表したもの。

4つの実験的事実が4つの方程式で表される。マクスウェル方程式を解くことで、電磁波の存在や、光もまた電磁波であることなどの重要な事実が導かれる。

実験的事実

マクスウェル以前に実験で確かめられた4つの法則。

1. 電荷のクーロンの法則

  • 電荷には+と-の2種類が存在する
  • 電荷が同じ符号だと斥力、違う符号だと引力を持つ
  • 引力と斥力はどちらも、電荷の量に比例し、距離の2乗に反比例する

2. 電磁誘導の法則

  • 電線に磁石を近づけたり遠ざけたりすると電線の両端に電位差が発生する
  • 発生する電位差は、磁石を動かす速度に比例する
  • 発生する電位差の向きは、アンペールの法則で磁力の変動を妨げる方向になる

3. 磁荷のクーロンの法則

  • 磁荷にはN(+)とS(-)の2種類が存在する
  • 磁荷が同じ符号だと斥力、違う符号だと引力を持つ
  • 引力と斥力はどちらも、磁荷の量に比例し、距離の2乗に反比例する
  • 単磁極は存在せず、磁石は必ずN極とS局のペアで存在する

4. アンペールの法則

  • 電線に電流を流すと、周囲に磁力が発生する
  • 磁力の強さは、電流に比例し、電線からの距離に反比例する。
  • 発生する磁力の向きは右ねじの法則にしたがう

論理的考察

実験的事実を解釈する際に想像されたもの。

電場

  • 電荷に対して力を及ぼす空間のこと
  • 電荷や電圧によって発生する

磁場

  • 磁荷に対して力を及ぼす空間のこと
  • 磁荷や電流によって発生する

電場と磁場の実在性

電場と磁場が「計算上便利だから導入された想像上の物なのか?それとも本当に存在するものなのか?」は電磁気学にとって重要な問題である。マクスウェル方程式を解くことにより、電場と磁場の実在が確かめられる。

マクスウェル方程式の二つの記法

マクスウェル方程式には「積分形」と「微分形」の2つの記法があり、「微分形」の方が有名。

積分形までは上記事実と論理的考察のみでたどり着くことができるが、微分形は積分形に対して純粋に数学的な書き換えを行わなければ得られない。

一次元の熱方程式を導く

概要

 十分細く、一次元とみなせる針金の温度分布と、その経時変化を考えたい。まず解くべき微分方程式を導出する。

針金上の座標を\(x \: \rm{[m]} \)、時間を\(t \: \rm{[sec]} \)、温度を\( T(x,t) \: \rm{[K]}\)とする。

f:id:dai-ig:20190901110610j:plain:w480

また、熱のフラックス\( \Gamma (x,t) \: \rm{[J/sec]} \)を同時に考える。(本来、熱フラックスの次元は\( \rm{[J/(m^2 sec)]} \)であるが、今回は1次元なので針金の断面積は考慮に入れない)

導出

熱フラックスについての式

熱のフラックス\(\Gamma\)は温度の勾配\( \displaystyle \frac{\partial T}{ \partial x} \)に比例する。(フーリエの法則)

上の関係は以下のように式で表せる。 \[ \Gamma (x,t)=-k\frac{\partial}{ \partial x} T(x,t) \tag{1} \]

ここで、温度\( T \)は\( x\)と\(t\)両方の関数としたので、偏微分になる。

\( k \)は熱フラックスの通りやすさを示す、熱伝導率と呼ばれる正の比例定数であり、針金の材質で決まる。熱フラックスは温度が高い方から低い方に流れるので、温度勾配とは逆方向に流れる。そのため\( k \)の前にマイナスがついている。

針金上の一次元区間\( (a, b ) \)を考える。

f:id:dai-ig:20190901110810j:plain:w480

それぞれの点の熱フラックスを式(1)形式で表す。

\[ \Gamma (a,t)=-k \left. \frac{\partial}{ \partial x} T(x,t)\right|_{x=a}\]

\[ \Gamma (b,t)=-k \left. \frac{\partial}{ \partial x} T(x,t)\right|_{x=b}\]

点\( a \)と点\( b \)を通した熱フラックスの出入りの総和は以下のように書ける。

\[ \Gamma(a,t)-\Gamma(b,t)=\int^b_a \frac{\partial}{\partial x} \Gamma(x,t) dx \tag{2}\]

式2を確認するため、右辺の定積分を実際にやってみよう。

\[ \begin{eqnarray}右辺&=&\int^b_a \frac{\partial}{\partial x} \Gamma(x,t) dx \\ &=&\bigl[\Gamma(x,t) \bigr]^b_a \\ &=&\Gamma(a,t)-\Gamma(b,t) \\ &=& 左辺 \end{eqnarray} \]

等式が確認された。

式2に\(\Gamma(a,t),\Gamma(b,t)\)および\( \Gamma(x,T) \)の中身を代入する。

\[ −k\frac{∂}{∂x}T(x,t)|_{x=a}+k\frac{∂}{∂x}T(x,t)|_{x=b}=−k\int^b_a\frac{∂^2}{∂x^2}Γ(x,t)dx \]

熱量についての式

一方、区間\( (a,b) \)に蓄えられている熱量は以下のように書ける。

\[ Q(t)=c\int ^b_a T(x,t) dx \] \(c\)は物質の温まりにくさを示す正の比例定数であり、(単位長さ当たりの)熱容量と呼ばれる。値は針金の材質で決まる。

\(Q(t)\)の時間変化を考える。両辺を\(t\)で微分する。ここで、\(Q(t)\)は\(t\)だけの関数なので全微分である。

\[ \begin{eqnarray} \frac{d}{dt}Q(t)&=&c\frac{∂}{∂t}∫_a^b T(x,t) dx \\ &=& c∫_a^b \frac{∂}{∂t} T(x,t) dx \end{eqnarray} \]

微分積分の順序を交換した。

二つの式を合体

熱量の保存則より以下の関係が成り立つ。 \[ \frac{d}{dt} Q(t)=出入りする熱量の合計\]

左辺と右辺の中身はここまでに解っているので、それぞれ代入する。 \[c∫_a^b\frac{∂}{∂t} T(x,t) dx = k∫^b_a\frac{∂^2}{∂x^2} Γ(x,t) dx\]

この関係が全ての\( (a,b) \)で成り立つためには積分の対象が等しい必要がある。 \[c\frac{∂}{∂t}T(x,t)=k\frac{∂^2}{∂x^2}Γ(x,t)\]

一次元の熱方程式が導かれた。この微分方程式を解くことで、針金の温度分布とその時間変化が求められる。

円の面積の導出

概要

 以前、弧の長さを用いて導出した等式、\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1 \)を用いて、円の面積を導出する。

導出

半径\( r \)の円に内接する正\( n \)角形と円に外接する正\( n \)角形を考える。\( n=6 \)の場合を図に示す。

 

下図のように、円と多角形をを\( 2n \)等分して考える。

まず二つの直角三角形と切り取られる扇形の面積を、円の半径rと中心角xを用いて表す。

 

小さな直角三角形の面積\( S_1 \)

斜辺が\( r \)と定まることから底辺と高さを導ける。

\[ \begin{eqnarray} S_1&=&\frac{1}{2}\times r \cos x \times r \sin x\newline &=&\frac{r^2 \sin x \cos x}{2} \end{eqnarray} \]  

切り取られる扇形の面積\( S_2 \)

未知の値。この値を求めたい。

 

大きな直角三角形の面積\( S_3 \)

底辺が\( r \)と定まることから斜辺、高さの順に導ける。

\[ \begin{eqnarray} S_3&=&\frac{1}{2} \times r \times \frac{r \sin x}{\cos x}\ &=&\frac{r^2 \sin x}{2\cos x} \end{eqnarray} \]  

面積の比較

図を比較すると明らかに以下の関係が成り立つ。

\[ \begin{eqnarray} S_1<S_2<S_3 \end{eqnarray} \]  

\( S_1 \)と\( S_3 \)に計算した値を代入する。

\[ \begin{eqnarray} \frac{r^2 \sin x \cos x}{2}<S_2<\frac{r^2 \sin x}{2\cos x} \end{eqnarray} \]  

\( x > 0 \)として全体を\( x \)で割り、\( \displaystyle \frac{ \sin x }{ x } \)の形を作る。

\[ \begin{eqnarray} \frac{ r^2 }{ 2 } \frac{ \sin x }{ x } \cos x&<&\frac{S_2}{x}&<&\frac{r^2}{2 }\frac{ 1 }{ \cos x }\frac{ \sin x}{ x } \end{eqnarray} \]  

ここで、\( n \)角形を、\( \infty \)角形に近づけていく。\( \displaystyle x=\frac{ 2\pi }{ 2n }=\frac{ \pi }{ n } \)なので、この時\( x \)は限りなく\( 0 \)に近づく。

\[ \begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{ r^2 }{ 2 } \frac{ \sin x }{ x } \cos x&<& \lim_{x \to 0}\frac{S_2}{x}&<& \lim_{x \to 0}\frac{r^2}{2 }\frac{ 1 }{ \cos x }\frac{ \sin x}{ x } \end{eqnarray} \]  

\( \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{ \sin x }{x }=1 \)を用いる。 \[ \begin{eqnarray} \require{cancel} \lim_{x \to 0} \frac{ r^2 }{ 2 } \cancel {\frac{ \sin x }{ x } }\cos x&<& \lim_{x \to 0}\frac{S_2}{x}&<& \lim_{x \to 0}\frac{r^2}{2 }\frac{ 1 }{ \cos x }\cancel{\frac{ \sin x}{ x }} \newline \lim_{x \to 0}\frac{ r^2 }{ 2 }\cos x&<& \lim_{x \to 0}\frac{S_2}{x}&<& \lim_{x \to 0} \frac{ r^2 }{ 2 }\frac{1}{\cos x} \newline \frac{ r^2 }{ 2 }&<& \lim_{x \to 0}\frac{S_2}{x}&<& \frac{ r^2 }{ 2 } \end{eqnarray} \]  

 はさみうちの原理により、以下の関係が求められた。 \[ \begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}\frac{S_2}{x} = \frac{ r^2 }{ 2 } \end{eqnarray} \]  

 \(\displaystyle x=\frac{ \pi }{ n } \)を代入する。 \[ \begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}\frac{S_2}{\frac{ \pi }{ n }} &=& \frac{ r^2 }{ 2 } \newline \lim_{n \to \infty}\frac{nS_2}{\pi } &=&\frac{ r^2 }{ 2 } \end{eqnarray} \]

両辺を\( 2\pi \)倍する。 \[ \begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}2nS_2&=&\pi r^2 \end{eqnarray} \]

ここで左辺は、円を\( 2n \)等分した扇型の\( S_2 \)を、再度\( 2n \)倍したものなので、元の円の面積に等しい。半径\( r \)を持つ円の面積が\( \pi r^2 \)で表されることが導かれた。

x が0に近い時のsin x の性質 弧の長さを用いる方法

循環論法

 以前、扇型の面積を挟み打ちして\( \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} =1\)を導出した。この手法は分かりやすいが、実は循環論法の問題がある。

半径\(r\)を持つ円の面積が\(\pi r^2 \)であることは定義されたことや自明なことではない。証明するには三角関数積分が必要であり、その際に既に\( \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} =1\)を知っている必要があるためである。

対策

円周率\( \pi \)の定義は円の直径\( 2r \)と円周長の比であるので、半径\( r \)を持つ円の円周長が\(2\pi r \)なことは定義されたこととして使用しても良い。これを出発点として\( \displaystyle \frac{\sin x}{x} =1\)を導出すれば循環論法を回避できる。

導出

正n角形

半径\( r \)の円に内接する正\(n \)角形と外接する正\( n \)角形を考える。下図に\( n = 6 \)の場合を示した。

ここで、内接する正\( n \)角形、円、外接する正\( n \)角形の外周の長さをそれぞれ\( A \)、\( B \)、\( C \)とする。これらの大小関係を比較すると、明らかに以下の関係が成り立つ。 \[ A < B < C \]

下図で色をつけた3本の線の長さに注目する。

これらはそれぞれ\( A \)、\( B \)、\( C \)を\( 2n \)で割ったものなので、大小関係は維持される。 \[ \frac{ A }{2n }< \frac{ B }{ 2n } < \frac{ C }{ 2n } \]

これらの線の長さをを別の形式で表す。直角三角形の高さと弧の長さとして3本の線の長さを求める。

小さい直角三角形

これはすぐ分かる。 \[ \frac{ A }{ 2n }=r \sin x \]

切り取られる円弧

全体の円周\( 2\pi r \)に角度の割合\( \frac{ x }{ 2\pi } \)を掛けた\( rx \)が弧の長さになる。

\[ \frac{ B }{ 2n }=rx \]

大きい直角三角形

まず斜辺\( \displaystyle \frac{ r }{ \cos x } \)、次に高さ\( \displaystyle r\frac{ \sin x }{ \cos x } \)が導かれる。

\[ \frac{ C }{ 2n }=r \frac{ \sin x }{ \cos x } \]

これらの長さの極限

求めた線の長さを\( \frac{ A }{ 2n } \)、\( \frac{ B }{ 2n } \)、\( \frac{ C }{ 2n } \)に代入する。 \[ r\sin x< rx < r\frac{ \sin x }{ \cos x }\]

共通する\( r \)を打ち消す。 \[ \sin x< x < \frac{ \sin x }{ \cos x }\]

\( x\neq 0 \)として全体を\( \sin x \)で割る。 \[ 1< \frac{ x }{ \sin x } < \frac{ 1 }{ \cos x }\]

全体の逆数をとる。不等号は逆向きになる。 \[ 1> \frac{ \sin x }{ x } > \cos x \]

正\( n \)角形の対角線は\( 2\pi \)ラジアンを\( n \)等分するので、中心角\( x \)は、そのさらに半分で以下のように表せる。 \[ x=\frac{ 2\pi }{ 2n }=\frac{ \pi }{ n } \]

ここで、内接、外接する\( n \)角形を\( \infty \)角形に近づけていく。この時、中心角\( x \)は限りなく\( 0 \)に近づいていく。 \[ \lim_{x \to 0} 1> \lim_{x \to 0}\frac{ \sin x }{ x } > \lim_{x \to 0}\cos x \\ 1> \lim_{x \to 0}\frac{ \sin x }{ x } >1\]

挟み打ちの原理より\( \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{ \sin x }{ x } =1 \)が導かれた。

Markdown記法の練習&メモ

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はてなブログではMarkdown記法が使用できる。HTMLコードの代わりに、特定のコマンド文字を使って文を簡単にマークアップする記法である。

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## 見出し2

#が多いほど小さな見出しになり、<h2>になる。記事内の見出しで一番強いのはこれぐらいか。

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### 見出し3

<h3>になる。サブセクションぐらい。

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###### 見出し6

<h6>になる。あまり使わなそう。

# 見出し7

####### 見出し7

<h6>になる。/#を増やして意味があるのは6個まで。

コード記法

## コード記法

`(バッククォート)で囲むとコードをそのまま表示できる。'ではないことに注意。

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*test

*単独では効果がない。文字列を囲んで使用する。

test
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test
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test
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水平線


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↑ハイフン4つ


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ハイフン3個以上で分割線。効果は何個でも同じなので見やすいように書けばよい。

引用

テスト

> テスト

数式

[tex: y=ax2+bx+c]

[tex: y=ax^2+bx+c]

いつも通りに入力するとMarkdownが優先されてしまい、数式モードにならない。

 y=ax^2+bx+c

[tex: y=ax\^2+bx+c]

\begin{eqnarray} y=ax^2+bx+c \end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
y=ax\^2+bx+c
\end{eqnarray}

^などを\バックスラッシュでエスケープするとMathjaxを使用可能だがなかなか面倒。

コマンド文字以外のルール

編集時の改行は反映されない。半角スペース2つ入力で改行される。(わかりにくい)

2回改行して空行を作ると段落分けされる。

空行を2行以上空けても段落は1回だけしか分かれない。

画像について

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[f:id:dai-ig:20190428164734j:plain]

f:id:dai-ig:20190428164734j:plain:w200

[f:id:dai-ig:20190428164734j:plain:w200]

画像タグ。はてなブログの機能で自動入力される。w200の部分で横幅を指定できる。

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余弦定理の証明(鈍角に対向する辺の場合)

概要

任意の \triangle ABCにおいて、角Cに対向する辺cの長さを \cos Cを用いて表し、以下に表される余弦定理を証明する。

 

\begin{eqnarray}
c^2=a^2+b^2-2ab \cos C
\end{eqnarray}

 

導出

 \angle Cが鋭角の場合を前回やったので、今回は図のように、鈍角の場合を考える。 

f:id:dai-ig:20190420122105j:plain

 

Aから辺aに垂線を引き、補助線としたいが、鋭角の時と異なり辺aとは交わらない。そこで下図のように辺aを延長し、補助線同士の交点をDとする。

f:id:dai-ig:20190420122136j:plain

 \angle \pi-Cと辺bを用いて、上図のように CD=b \cos (\pi-C) AD=b \sin (\pi-C)がわかる。また、 BD=a+CDなので BD=a+b \cos (\pi-C)と表せる。

 

 \sin(\pi-C) \cos(\pi-C)\piが邪魔なので消去したい。下に角度 C\pi-Cの関係を図示する。

f:id:dai-ig:20190428164353j:plain

f:id:dai-ig:20190428164734j:plain

 

これらの図を比較することで、 \sin(\pi-C)=\sin C \cos(\pi-C)=-\cos Cであることが分かる。

 

\triangle ABDcを斜辺とする直角三角形であるので、三平方の定理より以下の関係が成り立つ。

\begin{eqnarray}
c^2&=&[b \sin (\pi-C)]^2 +[a+b\cos (\pi-C)]^2\\
\end{eqnarray}

 

 \piを除去し、右辺を整理する。

\begin{eqnarray}
c^2&=&(b \sin C)^2 +(a-b\cos C)^2\\
&=& b^2 \sin^2 C+a^2-2ab \cos C +b^2 \cos ^2 C\\
&=&a^2+b^2(\sin ^2 C+ \cos ^2 C)-2ab \cos C\\
&=&a^2+b^2-2ab \cos C\\
\end{eqnarray}

 

Cが鈍角の場合にも余弦定理が導かれた。

 

また、 Cが垂直の時、余弦定理は三平方の定理と等しいので証明済みである。そのため、任意のC余弦定理が成り立つことが導かれた。

余弦定理の証明(鋭角に対向する辺の場合)

概要

任意の \triangle ABCにおいて、角Cに対向する辺cの長さを \cos Cを用いて表し、以下に表される余弦定理を証明する。

 

\begin{eqnarray}
c^2=a^2+b^2-2ab \cos C
\end{eqnarray}

 

導出

今回は図のように、 \angle Cが鋭角の場合を考える。

 

f:id:dai-ig:20190415210128j:plain

 

 

Aから辺aに垂線を引き、補助線とする。交点をDとする。

f:id:dai-ig:20190415210938j:plain

 

 \angle Cと辺bを用いて、上図のように CD=b \cos C AD=b \sin Cがわかる。また、 BD=a-CDなので BD=a-b \cos Cと表せる。

 

\triangle ABDcを斜辺とする直角三角形であるので、三平方の定理より以下の関係が成り立つ。

\begin{eqnarray}
c^2&=&(b \sin C)^2 +(a-b\cos C)^2\\
&=& b^2 \sin^2 C+a^2-2ab \cos C +b^2 \cos ^2 C\\
&=&a^2+b^2(\sin ^2 C+ \cos ^2 C)-2ab \cos C\\
&=&a^2+b^2-2ab \cos C\\
\end{eqnarray}

 

 \sin^2 C+\cos^2 C=1を用いて、余弦定理が導かれた。