A4の宇宙

数学と物理をA4ノートに収まる範囲で。

電子の平均自由行程

概要

動き回る物体が、別の物体と2回衝突する間に平均して進める距離のことを平均自由行程と呼ぶ。前回、濃厚接触の発生回数を人間の2次元平均自由行程から導いた。

 

多くの場合、平均自由行程は3次元空間と粒子で考えられ、飛行する粒子の平均自由行程は、気体やプラズマの性質を表す重要な指標となる。今回は飛行する電子 \mathrm{e}を考える。その空間には希ガス原子 \mathrm{g}がある密度 nで存在する。電子 \mathrm{e}の平均自由行程 \lambda_\mathrm{eg}を式で表す。

 

導出

飛び回る電子の大きさは非常に小さいとみなし、半径0の点と考える。それに対して的となる希ガス原子(以下、単に「原子」と書く)ははるかに大きく、ある半径 r_\mathrm{g}の球と考える。また、原子は電子と比較して非常に遅く、速度は0であると考える。これはプラズマ中や電子ビーム中で電子が高速に飛行し、気体分子に衝突する現象をモデル化する際によく用いられる近似である。図に衝突の模式図を示す。電子を赤、原子を青で示した。

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立式

この時、電子と原子の中心間距離が、原子の半径 r_\mathrm{g}に等しくなった時に衝突が起こることが分かる。これは結局、電子の周りに半径r_\mathrm{g}の球を描き、原子の中心座標がその球殻に触れることと等価である。

 

等価な問題に置き換えた模式図を示す。電子が飛行したときに衝突が起こる領域をピンク色で示した。

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図より、球の体積や厚さは関係なく、断面積だけで衝突の有無が決まることが分かる。この断面積は電子-原子間の衝突断面積\sigma_\mathrm{eg}=\pi r_\mathrm{g}^2と呼ばれる。

 

電子が平均自由行程 \lambda_\mathrm{eg}飛行する間に占有する衝突領域の体積は、次の図のように底面 \pi r_\mathrm{g}^2、高さ \lambda_\mathrm{eg}の円柱型をしている。この円柱の体積は \pi r_\mathrm{g}^2 \lambda_\mathrm{eg}である。

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平均自由行程の定義により、この円柱の中には平均して 1個の原子(の中心点)が存在する。その時の密度は以下のように定式化される。

\begin{eqnarray}
n&=&\frac{1}{\pi r_\mathrm{g}^2 \lambda_\mathrm{eg}}\\
\lambda_\mathrm{eg}&=&\frac{1}{\pi r_\mathrm{g}^2 n}
\end{eqnarray}

式変形して \lambda_\mathrm{eg}を表す式に直した。

 

衝突断面積 \pi r_\mathrm{g}^2 \sigma_\mathrm{eg}で表すと、

 \lambda_\mathrm{eg}=\dfrac{1}{\pi r_\mathrm{g}^2 n}=\underline{\dfrac{1}{\sigma_\mathrm{eg} n}}

電子の平均自由行程 \lambda_\mathrm{eg}を表す式が導かれた。

コロナの抑止には自粛が何割必要か

概要

新型コロナウィルスCOVID19の発生に伴い、国内でも外出禁止要請が出されている。人と人との濃厚接触を8割減らせばコロナの蔓延を防げるというが、人の外出も8割減らす必要があるのだろうか?接触の回数を式で表し、人の外出を55%減らせば目的を達成できることを導く。

 

導出

濃厚接触のモデル化

濃厚接触の回数を式で表したい。そのために色々な数値を文字で表し、単純なモデルを構築する。

 

まず人間一人ひとりの間隔が、ある値 rより近づくことを「濃厚接触」と定義する。これは図のように、自分の周りに半径 rの円を考えて、その内側に他人が入ることとみなすことができる。

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ある人が街を歩く様子は次の図のように表される。赤い点が注目する人を表す。この人が街を速度 vで歩き回ると考え、他の人が点線の円で表された領域に入って出たとき濃厚接触を一回したとみなすのである。この時、点線の円の縦幅や、中間的な横幅には意味がなく、横幅の最大値 2rだけで濃厚接触の有無が決まることが分かる。移動したときに濃厚接触が起こる領域を灰色で示した。

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平均自由行程 \lambda

まず、ある人間一人がどれぐらい他の人と接触するかを考えるため、「他人と接触せずに、平均してどれぐらい長く歩けるか」(=平均自由行程 \lambda)を計算する。

 

人が \lambda歩く間に、占有する面積の合計は図のように 2r \lambdaで表される。

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上に記した平均自由行程の定義より、この占有面積の中に、他人が平均して一人いることになる。その時の人口密度 nは以下のように定式化される。

\begin{eqnarray}
n&=&\frac{1}{2r \lambda}\\
\lambda&=&\frac{1}{2rn} \tag{1}
\end{eqnarray}

式変形より \lambdaが人口密度 nの関数として表された。

 

人が出歩く町の面積を S、出歩く人の数を mとすれば、人口密度n n=\dfrac{m}{S}と表せる。これを式 (1)に代入する。

\begin{eqnarray}
\lambda&=&\frac{1}{2rn}\\
\lambda&=&\frac{1}{2r\frac{m}{S}}\\
\lambda&=&\frac{S}{2rm}\\
\end{eqnarray}

式変形により、平均自由行程 \lambdaが求められた。

 

濃厚接触の総数 i_\mathrm{total}

次に濃厚接触せずに出歩ける平均時間 \tauを求める。これは \lambda vで割って求めることができる。

 \tau=\dfrac{\lambda}{v} =\dfrac{S}{2rmv}

 

平均して \tauに1回濃厚接触するので、濃厚接触頻度 \nu \tauの逆数となる。

 \nu=\dfrac{1}{\tau}=\dfrac{2rmv}{S}

 

ここで、町をぶらつく時間 tを考えると、ある人物一人の濃厚接触回数 iは以下のように表される。

\begin{eqnarray}
i=\nu t=\frac{2rmvt}{S}
\end{eqnarray}

 
もしあなたが町をぶらつく場合、濃厚接触の回数は出歩く人の数 mに比例することが分かった。しかし、いま求めたいのは町全体の総接触回数 i_\mathrm{total}である。町をぶらつく m人が平均して \dfrac{2rmvt}{S}回の濃厚接触をするので、 i_{\mathrm{total}}は以下のような式で表される。
\begin{eqnarray}
i_\mathrm{{total}}=\frac{mi}{2}=\frac{rm^2vt}{S}
\end{eqnarray} 
2で割ったのは、AさんとBさん、BさんとAさんの同じ接触が2重にカウントされているためである。
 
すなわち、町全体の総接触回数は出歩く人数ではなく、出歩く人数の2乗に比例する。総接触回数を8割減らすのに、出歩く人は何割減ればよいか計算しよう。出歩く人数が m_1人から m_2人に変化して、接触率が2割になったとする。
\begin{eqnarray} \require{cancel}
\frac{\frac{rm_2^2vt}{S}}{\frac{rm_1^2vt}{S}}&=&0.2\\
\left(\frac{m_2}{m_1}\right)^2&=&0.2\\
\frac{m_2}{m_1}&=&\sqrt{0.2}\\
\frac{m_2}{m_1}&=&0.447 \cdots\\
\end{eqnarray}
 
 1-0.447=0.552より、濃厚接触 8割減を達成するには人出を 55\%減らせば良いことが分かった。人出を 8割も減らす必要はないのである。濃厚接触 8割減は決して不可能な目標ではない。引き続き頑張っていきましょう。

運動エネルギーの定義が(1/2)mv^2なのはなぜか

概要

運動エネルギー Kは以下のように定義されている。

\begin{eqnarray}
K=\frac{1}{2}mv^2
\end{eqnarray}

この式はある物体の運動エネルギーが、その質量 mと速度の2乗 v^2に比例することを表す。しかし、係数として \displaystyle \frac{1}{2}が掛かっている。 mv^2を運動エネルギーの定義としなかったのはなぜだろうか?

 

係数を \displaystyle \frac{1}{2}とするのが合理的なことを、等加速度運動の式2種と、運動方程式を用いて導く。

 

導出

一定の力 fを受け、等加速度直線運動する物体を考える。物体の速度 vを表す式は以下のように書ける。時刻を t、加速度を a(\neq 0)、初速度を v_0とする。

\begin{eqnarray}
v=v_0+at \tag{1}
\end{eqnarray}

 

物体の位置 xを表す式は以下のように書ける。初期位置を x_0とする。

\begin{eqnarray}
x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2 \tag{2}
\end{eqnarray}

 

式(1)と式(2)から tを消去する。式(1)を tについて変形する。

\begin{eqnarray}
at&=&v-v_0 \\
t&=&\frac{v-v_0}{a} \tag{1'}
\end{eqnarray}

 

これを式(2)に代入する。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
x&=&x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2 \tag{2} \\
x&=&x_0+v_0\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+\frac{1}{2}a \left( \frac{v-v_0}{a} \right)^2 \\
x&=&x_0+\frac{v_0v-v_0^2}{a}+\frac{1}{2a} \left( v-v_0 \right)^2 \\
x&=&x_0+\frac{\cancel{v_0v}-v_0^2}{a}+\frac{v^2-\cancel{2v_0v}+v_0^2}{2a}  \\
x&=&x_0+\frac{v^2-v_0^2}{2a}  \\
x-x_0&=&\frac{v^2-v_0^2}{2a} \tag{3}
\end{eqnarray}

式から tが消え、 x vの関係が得られた。

 

運動方程式 f=maより、 \displaystyle a=\frac{f}{m}である。ここで fは物体が及ぼされる力、 mは物体の質量である。これを式(3)に代入して aを消去する。

\begin{eqnarray}
x-x_0&=&\frac{v^2-v_0^2}{2a} \tag{3}\\
x-x_0&=&\frac{v^2-v_0^2}{2\frac{f}{m}} \\
f(x-x_0)&=&\frac{m(v^2-v_0^2)}{2} \\
f(x-x_0)&=&\frac{1}{2}m(v^2-v_0^2) \\
\end{eqnarray}

 

左辺は物体に力 fを及ぼして、座標 x_0から xに動かしたときの仕事であり、右辺は質量 mの物体の速度が v_0から vに変化したときの運動エネルギーの変化に等しい。この式は「物体が外部から仕事を受けると、それに相当して運動エネルギーが変化する」ことを表している。

 

つまり、そもそも仕事と等価にするために運動エネルギーの定義が決まっていて、その計算過程で係数 \displaystyle \frac{1}{2}が現れるのである。また、 \displaystyle \frac{1}{2}のそもそもの出どころは等加速度運動で位置 xを表す式の中にある項 \displaystyle \frac{1}{2}at^2であることが分かる。

指数の基数を変換する

概要

 y=a^xのような指数関数があるとき、基数 aを好きな数に変換したいことがしばしばある。

 

一例として、任意の基数を持つ指数関数を微分するために基数をネイピア数eに変換したり、逆に変数分離法の微分方程式の解として現れた e^{-cx}目的の基数を持つ指数関数に変換したりすることが挙げられる。この方法を導く。

 

導出

以下の指数関数の基数 a bに変換したいとする。

\begin{eqnarray}
y=a^x
\end{eqnarray}

 

両辺の \log_bをとり、対数関数の性質を用いて変形する。

\begin{eqnarray}
\log_b y= \log_b a^x\\
\log_b y= x\log_b a
\end{eqnarray}

 

 yについて整理する。

\begin{eqnarray}
y= b^{x \log_b a}
\end{eqnarray}

 

 y= a^xを代入する。

\begin{eqnarray}
a^x = b^{x \log_b a}
\end{eqnarray}

対数関数の底を aから bに変換できた。

 

ここで右辺指数部の \log_b aはある定数になっていることに注意。これはすべての指数関数は、指数部に定数を掛けることで基数を相互に変換できることを意味する。

対数の底を変換する

概要

 y=\log_a xのような対数関数があるとき、底 aを好きな数に変換したいことがしばしばある。

 

一例として、任意の底を持つ対数関数を微分するために底をeに変換したり、逆に \displaystyle \frac{1}{x}積分するなどして現れた自然対数 \lnを目的の底を持つ対数に変換したりすることが挙げられる。この方法を導く。

 

導出

以下の対数関数の底 a bに変換したいとする。

\begin{eqnarray}
y= \log_a x
\end{eqnarray}

 

指数関数として書き直す。

\begin{eqnarray}
a^y= x
\end{eqnarray}

 

両辺の \log_bをとり、対数関数の性質を用いて変形する。

\begin{eqnarray}
\log_b a^y= \log_b x\\
y\log_b a= \log_b x
\end{eqnarray}

 

 yについて整理する。

\begin{eqnarray}
y= \frac{\log_b x}{\log_b a}
\end{eqnarray}

 

 y= \log_a xを代入する。

\begin{eqnarray}
\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}
\end{eqnarray}

対数関数の底を aから bに変換できた。

 

ここで右辺分母の \log_b aはある定数になっていることに注意。これはすべての対数関数は、定数を掛けるだけで底を相互に変換できることを意味する。

半減期を微分方程式で表す その2

概要

前回放射性物質の個数を表す微分方程式を導いた。微分方程式を解いて放射性物質が減っていく様子を式で表す。

 

解きたい微分方程式をもう一度書く。

\begin{eqnarray}
\frac{dN(t)}{dt}=-\lambda N(t)
\end{eqnarray}

 

変数分離法で解く。 N(t) \neq 0として、両辺を N(t)で割る。

\begin{eqnarray}
\frac{1}{N(t)}\frac{dN(t)}{dt}=-\lambda
\end{eqnarray}

 

両辺をt積分する。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
\int \frac{1}{N(t)}\frac{dN(t)}{dt} dt&=& \int -\lambda dt \\
\int \frac{1}{N(t)}\frac{dN(t)}{\cancel{dt}} \cancel{dt}&=& \int -\lambda dt
\end{eqnarray}

 

積分を実行する。 Cは任意定数である。

\begin{eqnarray}
\ln |N(t)|=-\lambda t + C
\end{eqnarray}

 

指数関数として書き直す。

\begin{eqnarray}
|N(t)|&=&e^{-\lambda t +C}\\
N(t)&=&\pm e^{-\lambda t +C}\\
N(t)&=&\pm e^Ce^{-\lambda t}\\
N(t)&=&Ce^{-\lambda t}
\end{eqnarray}

 \pm e^Cを改めて Cと置きなおした。

 

 t=0を考えてみる。

\begin{eqnarray}
N(0)&=&C e^{-\lambda 0}\\
N(0)&=&C
\end{eqnarray}


すなわち、積分定数C放射性物質の初期個数を表すので、 C=N_0と書くことにする。

\begin{eqnarray}
N(t)=N_0 e^{-\lambda t}
\end{eqnarray}

一般解が導かれた。

 

より半減期が分かりやすいように指数関数の底を eから 2に変換して書き直す。式変形のため、以下のように置いておく。

\begin{eqnarray}
e^{- \lambda t}=y
\end{eqnarray}

 

両辺の \log_2を取る。

\begin{eqnarray}
\log_2 e^{- \lambda t}=\log_2 y\\
- \lambda t \log_2 e=\log_2 y
\end{eqnarray}

 

 yについて整理する。

\begin{eqnarray}
y=2^{- \lambda t \log_2 e}
\end{eqnarray}

 

 y=e^{- \lambda t }を代入する。

\begin{eqnarray}
e^{-\lambda t}=2^{- \lambda t \log_2 e}
\end{eqnarray}

指数関数の基数をeから2に変換できた。

 

 \log_2 e=1.44...であるので、これを代入する。

\begin{eqnarray}
N(t)&=&N_0 e^{-\lambda t}\\
&=&N_0 2^{-1.44\lambda t}
\end{eqnarray}

放射性物質の個数 N(t)を表す式が求められた。

 

 N(t) N(0)の半分になる時間 t_\rm{h}は、2にかかる指数 -1.44 \lambda t_\rm{h} -1になる時なので、

\begin{eqnarray}
-1.44 \lambda t_\rm{h} &=& -1\\
t_\rm{h}&=&\frac{1}{1.44 \lambda}
\end{eqnarray}

半減期を表す。 \lambdaは崩壊しやすさを表す正の比例定数であった。それが大きいほど半減期 t_\rm{h}が短くなることが式に表れている。

 

さらに t_\rm{h}=\frac{1}{1.44 \lambda}を代入すれば、次のように短く書ける。

\begin{eqnarray}
N(t)&=&N_0 2^{-1.44\lambda t}\\
&=&N_0 2^{-\frac{t}{t_\rm{h}}}
\end{eqnarray}

 

2にかかる指数は、経過時間 t半減期 t_\rm{h}の比率になっているので、これらの単位が同じなら計算可能である。SI単位系の時間は「秒」だが、両方とも「年」としてもよいのである。これは崩壊の比例定数 \lambdaの時間単位を任意にとって良いことに対応している。

半減期を微分方程式で表す その1

概要

放射性原子が崩壊して残りの個数が減っていく様子を微分方程式から導き、半減期の概念を理解する。今回は解きたい微分方程式を作るところまで説明する。

 

考え方

放射性原子は全ての時刻でランダムに一定確率で崩壊する、この「一定確率で減っていく」ことをどのように扱うか、というのが難しいのだが、以下のように言い換えることで式に表すことができる。

 

「ランダムに一定確率で崩壊する」ということはすなわち、以下の2つの文章に等しい。

  • 「崩壊する原子の数は元の原子の数に比例する」
    = 元の原子の数が2倍になったら崩壊する数も2倍になる
  • 「崩壊する原子の数は観察する期間に比例する」
    = 観察する期間が2倍になったら崩壊する数も2倍になる

 

立式

両辺を原子の数の変化として微分方程式を作る。時刻 tにおける放射性物質の残数を N(t)で表す。

\begin{eqnarray}
N(t+\Delta t)-N(t)=-\lambda N(t) \Delta t
\end{eqnarray}

ここで \Delta tが上述した観察期間に相当する。比例定数 \lambda自体は正の値として、マイナスをつけることで原子の減少を表す。

 

 \Delta t \neq 0として両辺を \Delta tで割る。

\begin{eqnarray}
\frac{N(t+\Delta t)-N(t)}{\Delta t}=-\lambda N(t)
\end{eqnarray}

 

両辺の \displaystyle \lim_{\Delta t \to 0}を取る。

\begin{eqnarray}
\lim_{\Delta t \to 0} \frac{N(t+\Delta t)-N(t)}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \to 0} -\lambda N(t)
\end{eqnarray}

 

左辺が微分の定義に等しいことを用いて書き換える。右辺には \Delta tがないので \displaystyle \lim_{\Delta t \to 0}を取っても変わらない。

\begin{eqnarray}
\frac{dN(t)}{dt}=-\lambda N(t)
\end{eqnarray}

 

求めたい微分方程式が導かれた。