A4の宇宙

数学と物理をA4ノートに収まる範囲で。

円の面積の導出

概要

 以前、弧の長さを用いて導出した等式、\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1 \)を用いて、円の面積を導出する。

導出

半径\( r \)の円に内接する正\( n \)角形と円に外接する正\( n \)角形を考える。\( n=6 \)の場合を図に示す。

 

下図のように、円と多角形をを\( 2n \)等分して考える。

まず二つの直角三角形と切り取られる扇形の面積を、円の半径rと中心角xを用いて表す。

 

小さな直角三角形の面積\( S_1 \)

斜辺が\( r \)と定まることから底辺と高さを導ける。

\[ \begin{eqnarray} S_1&=&\frac{1}{2}\times r \cos x \times r \sin x\newline &=&\frac{r^2 \sin x \cos x}{2} \end{eqnarray} \]  

切り取られる扇形の面積\( S_2 \)

未知の値。この値を求めたい。

 

大きな直角三角形の面積\( S_3 \)

底辺が\( r \)と定まることから斜辺、高さの順に導ける。

\[ \begin{eqnarray} S_3&=&\frac{1}{2} \times r \times \frac{r \sin x}{\cos x}\ &=&\frac{r^2 \sin x}{2\cos x} \end{eqnarray} \]  

面積の比較

図を比較すると明らかに以下の関係が成り立つ。

\[ \begin{eqnarray} S_1<S_2<S_3 \end{eqnarray} \]  

\( S_1 \)と\( S_3 \)に計算した値を代入する。

\[ \begin{eqnarray} \frac{r^2 \sin x \cos x}{2}<S_2<\frac{r^2 \sin x}{2\cos x} \end{eqnarray} \]  

\( x > 0 \)として全体を\( x \)で割り、\( \displaystyle \frac{ \sin x }{ x } \)の形を作る。

\[ \begin{eqnarray} \frac{ r^2 }{ 2 } \frac{ \sin x }{ x } \cos x&<&\frac{S_2}{x}&<&\frac{r^2}{2 }\frac{ 1 }{ \cos x }\frac{ \sin x}{ x } \end{eqnarray} \]  

ここで、\( n \)角形を、\( \infty \)角形に近づけていく。\( \displaystyle x=\frac{ 2\pi }{ 2n }=\frac{ \pi }{ n } \)なので、この時\( x \)は限りなく\( 0 \)に近づく。

\[ \begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{ r^2 }{ 2 } \frac{ \sin x }{ x } \cos x&<& \lim_{x \to 0}\frac{S_2}{x}&<& \lim_{x \to 0}\frac{r^2}{2 }\frac{ 1 }{ \cos x }\frac{ \sin x}{ x } \end{eqnarray} \]  

\( \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{ \sin x }{x }=1 \)を用いる。 \[ \begin{eqnarray} \require{cancel} \lim_{x \to 0} \frac{ r^2 }{ 2 } \cancel {\frac{ \sin x }{ x } }\cos x&<& \lim_{x \to 0}\frac{S_2}{x}&<& \lim_{x \to 0}\frac{r^2}{2 }\frac{ 1 }{ \cos x }\cancel{\frac{ \sin x}{ x }} \newline \lim_{x \to 0}\frac{ r^2 }{ 2 }\cos x&<& \lim_{x \to 0}\frac{S_2}{x}&<& \lim_{x \to 0} \frac{ r^2 }{ 2 }\frac{1}{\cos x} \newline \frac{ r^2 }{ 2 }&<& \lim_{x \to 0}\frac{S_2}{x}&<& \frac{ r^2 }{ 2 } \end{eqnarray} \]  

 はさみうちの原理により、以下の関係が求められた。 \[ \begin{eqnarray} \lim_{x \to 0}\frac{S_2}{x} = \frac{ r^2 }{ 2 } \end{eqnarray} \]  

 \(\displaystyle x=\frac{ \pi }{ n } \)を代入する。 \[ \begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}\frac{S_2}{\frac{ \pi }{ n }} &=& \frac{ r^2 }{ 2 } \newline \lim_{n \to \infty}\frac{nS_2}{\pi } &=&\frac{ r^2 }{ 2 } \end{eqnarray} \]

両辺を\( 2\pi \)倍する。 \[ \begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}2nS_2&=&\pi r^2 \end{eqnarray} \]

ここで左辺は、円を\( 2n \)等分した扇型の\( S_2 \)を、再度\( 2n \)倍したものなので、元の円の面積に等しい。半径\( r \)を持つ円の面積が\( \pi r^2 \)で表されることが導かれた。

x が0に近い時のsin x の性質 弧の長さを用いる方法

循環論法

 以前、扇型の面積を挟み打ちして\( \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} =1\)を導出した。この手法は分かりやすいが、実は循環論法の問題がある。

半径\(r\)を持つ円の面積が\(\pi r^2 \)であることは定義されたことや自明なことではない。証明するには三角関数積分が必要であり、その際に既に\( \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} =1\)を知っている必要があるためである。

対策

円周率\( \pi \)の定義は円の直径\( 2r \)と円周長の比であるので、半径\( r \)を持つ円の円周長が\(2\pi r \)なことは定義されたこととして使用しても良い。これを出発点として\( \displaystyle \frac{\sin x}{x} =1\)を導出すれば循環論法を回避できる。

導出

正n角形

半径\( r \)の円に内接する正\(n \)角形と外接する正\( n \)角形を考える。下図に\( n = 6 \)の場合を示した。

ここで、内接する正\( n \)角形、円、外接する正\( n \)角形の外周の長さをそれぞれ\( A \)、\( B \)、\( C \)とする。これらの大小関係を比較すると、明らかに以下の関係が成り立つ。 \[ A < B < C \]

下図で色をつけた3本の線の長さに注目する。

これらはそれぞれ\( A \)、\( B \)、\( C \)を\( 2n \)で割ったものなので、大小関係は維持される。 \[ \frac{ A }{2n }< \frac{ B }{ 2n } < \frac{ C }{ 2n } \]

これらの線の長さをを別の形式で表す。直角三角形の高さと弧の長さとして3本の線の長さを求める。

小さい直角三角形

これはすぐ分かる。 \[ \frac{ A }{ 2n }=r \sin x \]

切り取られる円弧

全体の円周\( 2\pi r \)に角度の割合\( \frac{ x }{ 2\pi } \)を掛けた\( rx \)が弧の長さになる。

\[ \frac{ B }{ 2n }=rx \]

大きい直角三角形

まず斜辺\( \displaystyle \frac{ r }{ \cos x } \)、次に高さ\( \displaystyle r\frac{ \sin x }{ \cos x } \)が導かれる。

\[ \frac{ C }{ 2n }=r \frac{ \sin x }{ \cos x } \]

これらの長さの極限

求めた線の長さを\( \frac{ A }{ 2n } \)、\( \frac{ B }{ 2n } \)、\( \frac{ C }{ 2n } \)に代入する。 \[ r\sin x< rx < r\frac{ \sin x }{ \cos x }\]

共通する\( r \)を打ち消す。 \[ \sin x< x < \frac{ \sin x }{ \cos x }\]

\( x\neq 0 \)として全体を\( \sin x \)で割る。 \[ 1< \frac{ x }{ \sin x } < \frac{ 1 }{ \cos x }\]

全体の逆数をとる。不等号は逆向きになる。 \[ 1> \frac{ \sin x }{ x } > \cos x \]

正\( n \)角形の対角線は\( 2\pi \)ラジアンを\( n \)等分するので、中心角\( x \)は、そのさらに半分で以下のように表せる。 \[ x=\frac{ 2\pi }{ 2n }=\frac{ \pi }{ n } \]

ここで、内接、外接する\( n \)角形を\( \infty \)角形に近づけていく。この時、中心角\( x \)は限りなく\( 0 \)に近づいていく。 \[ \lim_{x \to 0} 1> \lim_{x \to 0}\frac{ \sin x }{ x } > \lim_{x \to 0}\cos x \\ 1> \lim_{x \to 0}\frac{ \sin x }{ x } >1\]

挟み打ちの原理より\( \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{ \sin x }{ x } =1 \)が導かれた。

Markdown記法の練習&メモ

Markdownルールの概要

はてなブログではMarkdown記法が使用できる。HTMLコードの代わりに、特定のコマンド文字を使って文を簡単にマークアップする記法である。

コマンド文字自体はブログに表示されないが、直前にスラッシュ\をつけるとコマンド文字をそのまま表示できる。(コマンドの機能は失われる)

コマンド文字一覧

名称 主な効果
# シャープ 見出し化
\ スラッシュ コマンド文字の表示
` バッククオート コード表示
+ プラス リスト化
* アスタリスク 強調表示
_ アンダーバー 強調表示
> 右アングル 引用表示
- ハイフン 水平線
^ ハット 上付き
| 縦線 表作成

見出し1

# 見出し1

<h1>になる。ブログやエントリーのタイトルと同格。SEO的には良くないかもしれない。

見出し2

## 見出し2

#が多いほど小さな見出しになり、<h2>になる。記事内の見出しで一番強いのはこれぐらいか。

見出し3

### 見出し3

<h3>になる。サブセクションぐらい。

見出し4

#### 見出し4

<h4>レベルになる。サブサブセクションぐらい。

見出し5

##### 見出し5

<h5>になる。あまり使わなそう。

見出し6

###### 見出し6

<h6>になる。あまり使わなそう。

# 見出し7

####### 見出し7

<h6>になる。/#を増やして意味があるのは6個まで。

コード記法

## コード記法

`(バッククォート)で囲むとコードをそのまま表示できる。'ではないことに注意。

a
b
c
d

```で段落ごと囲むと段落ごとコード表示。

強調表示

*test

*単独では効果がない。文字列を囲んで使用する。

test
↑強調レベル1。*で囲む。

test
↑強調レベル2。**で囲む。

test
↑強調レベル3。***で囲む。

水平線


↑ハイフン3つ


↑ハイフン4つ


↑ハイフン5つ

ハイフン3個以上で分割線。効果は何個でも同じなので見やすいように書けばよい。

引用

テスト

> テスト

数式

[tex: y=ax2+bx+c]

[tex: y=ax^2+bx+c]

いつも通りに入力するとMarkdownが優先されてしまい、数式モードにならない。

 y=ax^2+bx+c

[tex: y=ax\^2+bx+c]

\begin{eqnarray} y=ax^2+bx+c \end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
y=ax\^2+bx+c
\end{eqnarray}

^などを\バックスラッシュでエスケープするとMathjaxを使用可能だがなかなか面倒。

コマンド文字以外のルール

編集時の改行は反映されない。半角スペース2つ入力で改行される。(わかりにくい)

2回改行して空行を作ると段落分けされる。

空行を2行以上空けても段落は1回だけしか分かれない。

画像について

f:id:dai-ig:20190428164734j:plain

[f:id:dai-ig:20190428164734j:plain]

f:id:dai-ig:20190428164734j:plain:w200

[f:id:dai-ig:20190428164734j:plain:w200]

画像タグ。はてなブログの機能で自動入力される。w200の部分で横幅を指定できる。

リンク

A4の宇宙

[A4の宇宙](https://a4.hateblo.jp)

余弦定理の証明(鈍角に対向する辺の場合)

概要

任意の \triangle ABCにおいて、角Cに対向する辺cの長さを \cos Cを用いて表し、以下に表される余弦定理を証明する。

 

\begin{eqnarray}
c^2=a^2+b^2-2ab \cos C
\end{eqnarray}

 

導出

 \angle Cが鋭角の場合を前回やったので、今回は図のように、鈍角の場合を考える。 

f:id:dai-ig:20190420122105j:plain

 

Aから辺aに垂線を引き、補助線としたいが、鋭角の時と異なり辺aとは交わらない。そこで下図のように辺aを延長し、補助線同士の交点をDとする。

f:id:dai-ig:20190420122136j:plain

 \angle \pi-Cと辺bを用いて、上図のように CD=b \cos (\pi-C) AD=b \sin (\pi-C)がわかる。また、 BD=a+CDなので BD=a+b \cos (\pi-C)と表せる。

 

 \sin(\pi-C) \cos(\pi-C)\piが邪魔なので消去したい。下に角度 C\pi-Cの関係を図示する。

f:id:dai-ig:20190428164353j:plain

f:id:dai-ig:20190428164734j:plain

 

これらの図を比較することで、 \sin(\pi-C)=\sin C \cos(\pi-C)=-\cos Cであることが分かる。

 

\triangle ABDcを斜辺とする直角三角形であるので、三平方の定理より以下の関係が成り立つ。

\begin{eqnarray}
c^2&=&[b \sin (\pi-C)]^2 +[a+b\cos (\pi-C)]^2\\
\end{eqnarray}

 

 \piを除去し、右辺を整理する。

\begin{eqnarray}
c^2&=&(b \sin C)^2 +(a-b\cos C)^2\\
&=& b^2 \sin^2 C+a^2-2ab \cos C +b^2 \cos ^2 C\\
&=&a^2+b^2(\sin ^2 C+ \cos ^2 C)-2ab \cos C\\
&=&a^2+b^2-2ab \cos C\\
\end{eqnarray}

 

Cが鈍角の場合にも余弦定理が導かれた。

 

また、 Cが垂直の時、余弦定理は三平方の定理と等しいので証明済みである。そのため、任意のC余弦定理が成り立つことが導かれた。

余弦定理の証明(鋭角に対向する辺の場合)

概要

任意の \triangle ABCにおいて、角Cに対向する辺cの長さを \cos Cを用いて表し、以下に表される余弦定理を証明する。

 

\begin{eqnarray}
c^2=a^2+b^2-2ab \cos C
\end{eqnarray}

 

導出

今回は図のように、 \angle Cが鋭角の場合を考える。

 

f:id:dai-ig:20190415210128j:plain

 

 

Aから辺aに垂線を引き、補助線とする。交点をDとする。

f:id:dai-ig:20190415210938j:plain

 

 \angle Cと辺bを用いて、上図のように CD=b \cos C AD=b \sin Cがわかる。また、 BD=a-CDなので BD=a-b \cos Cと表せる。

 

\triangle ABDcを斜辺とする直角三角形であるので、三平方の定理より以下の関係が成り立つ。

\begin{eqnarray}
c^2&=&(b \sin C)^2 +(a-b\cos C)^2\\
&=& b^2 \sin^2 C+a^2-2ab \cos C +b^2 \cos ^2 C\\
&=&a^2+b^2(\sin ^2 C+ \cos ^2 C)-2ab \cos C\\
&=&a^2+b^2-2ab \cos C\\
\end{eqnarray}

 

 \sin^2 C+\cos^2 C=1を用いて、余弦定理が導かれた。

xが0に近い時のsin xの性質、面積を用いる方法

概要

図のように、半径rの円(緑)と、二つの直角三角形(青、赤)を考える。これらの直角三角形と、切り取られる扇形の面積を比較して、三角関数微分に必要な \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1を導出する。

f:id:dai-ig:20190331110542j:plain

 

導出

まず二つの直角三角形と切り取られる扇形の面積を、円の半径rと中心角xを用いて表す。

 

小さな直角三角形の面積S_1

斜辺がrと定まることから底辺と高さを導ける。

f:id:dai-ig:20190331111056j:plain

\begin{eqnarray}
S_1&=&\frac{1}{2}\times r \cos x \times r \sin x\\
&=&\frac{r^2 \sin x \cos x}{2}
\end{eqnarray}

 

切り取られる扇形の面積S_2

円全体の面積\pi r^2に角度の割合 \displaystyle \frac{x}{2 \pi}をかけて求める。

f:id:dai-ig:20190331111125j:plain

\begin{eqnarray}
S_2&=& \pi r^2 \times \frac{x}{2 \pi}\\
&=&\frac{r^2 x}{2}
\end{eqnarray}

 

大きな直角三角形の面積S_3

底辺がrと定まることから斜辺、高さの順に導ける。

f:id:dai-ig:20190331111149j:plain

\begin{eqnarray}
S_3&=&\frac{1}{2} \times r \times \frac{r \sin x}{\cos x}\\
&=&\frac{r^2 \sin x}{2\cos x}
\end{eqnarray}

 

 

図を比較すると明らかに以下の関係が成り立つ。

\begin{eqnarray}
S_1<S_2<S_3
\end{eqnarray}

 

S_1, S_2, S_3に計算した値を代入する。

\begin{eqnarray}
\frac{r^2 \sin x \cos x}{2}<\frac{r^2 x}{2}<\frac{r^2 \sin x}{2\cos x}
\end{eqnarray}

 

共通部分を打ち消す。
\begin{eqnarray} \require{cancel}
\frac{\cancel{r^2} \sin x \cos x}{\cancel{2}}&<&\frac{\cancel{r^2} x}{\cancel{2}}&<&\frac{\cancel{r^2} \sin x }{\cancel{2}\cos x}\\
\sin x \cos x&<&x&<&\frac{\sin x }{\cos x}
\end{eqnarray}

 

全体を\sin xで割る。\sin x \gt 0としているので不等号の向きは変わらない。
\begin{eqnarray}
\cos x&<&\frac{x}{\sin x}&<&\frac{1}{\cos x}
\end{eqnarray}

 

全体の逆数を取る。不等号の向きが逆になる。
\begin{eqnarray}
\frac{1}{\cos x}&>&\frac{\sin x}{x}&>&\cos x
\end{eqnarray}

 

全体の \displaystyle \lim_{x \to 0}を取る。

\begin{eqnarray}
\lim_{x \to 0}\frac{1}{\cos x}&>&\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}&>&\lim_{x \to 0}\cos x\\
1&>&\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}&>&1
\end{eqnarray}

 

はさみうちの原理により、以下の関係が求められた。

\begin{eqnarray}
\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1
\end{eqnarray}

 

また \sin x \lt 0の時も、横軸の下側に2つの直角三角形と扇形を考えることができるので、この関係は同様に成り立つ。