特性方程式とは何か？ こちらを参照。 解がの場合 式(2)と式(3)の漸化式を等比数列に変形する。初項と次の項をそれぞれとした。 \begin{eqnarray}a_{n+1} -p a_{n} &=& q^n(a_{1} -p a_{0}) \tag{4}\\a_{n+1} -q a_{n} &=& p^n(a_{1} -q a_{0}) \tag{5}\end{…

以下のような形の三項間漸化式を解く。すなわち一般項を閉じた形で表す。 \begin{equation}a_{n+2} = ba_{n+1}+ca_n \tag{1}\end{equation} そのために式(1)を変形し、以下のような形にしたい。 \begin{equation}a_{n+2} -p a_{n+1} = q(a_{n+1}-p a_n) \tag…

等比数列 等比数列の一般項は、初項を、公比をとして、 \begin{equation} a_n=r^na_0 \end{equation} と表せる。 (与えられた初項がだったらで割ってを作っておこう。が初項だとの指数がになって面倒なので) 等比数列の和 この数列をからまで足した値はいく…

簡単な漸化式 数列の一般項が、やなどの別の項の関数として表されている式を漸化式と呼ぶ。もしある漸化式が、 \begin{equation}a_{n+1}=a_{n}+d\end{equation} の形で表せる場合、この数列は明らかに公差の等差数列である。 また、ある漸化式が \begin{equa…

等差数列 等差数列の一般項は、を初項、を公差として、\begin{equation}a_n=a_0+nd\end{equation} の形で表せる。 (与えられた初項がだったらを引いてを作っておこう。が初項だとの係数がになって面倒なので) 等差数列の和 この数列をからまで足した値はいく…

概要 以下の関係を満たす\( x \)を定数\( a,b,c \)で表す。すなわち、2次方程式の解の公式を導く。 \begin{eqnarray}ax^2+bx+c=0\end{eqnarray} 導出 \( a \neq 0 \)として、両辺を\( a \)で割る。 \[ \begin{eqnarray}x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\end{e…

見たままモードで動作確認済み 斜線(打ち消し線) \require{cancel} \cancel{ax^2+bx+c} シグマ記号 \displaystyle \sum_{k=0}^{n} F_k = 2F_0+3F_1+2F_2+2F_3+ \cdots +F_{n-1} 2次関数の解の公式 \displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} 式に番号…

フィボナッチ数列 以下の数列をフィボナッチ数列と呼ぶ。 \begin{eqnarray}F_0&=&0\\F_1&=&1\\F_n&=&F_{n-1}+F_{n-2}\end{eqnarray} すなわちは直前2項の和となる。実際に計算してみる。 \begin{eqnarray}F_2&=&F_0+F_1=0+1=1\\F_3&=&F_1+F_2=1+1=2\\F_4&=&1…

数学 数列 フィボナッチ数列の一般項, フィボナッチ数列の和, 等差数列の和, 等比数列の和 隣接2項による漸化式, 隣接三項漸化式の特性方程式の意味, 特性方程式が2つの解を持つ場合(実数編), (複素数編), 特性方程式が重解を持つ場合, テイラー展開, ダラン…