等比数列の和

等比数列

等比数列の一般項は、初項を $a_0$ 、公比を $r$ として、

\begin{equation} a_n=r^na_0 \end{equation}

と表せる。

(与えられた初項が $a_1$ だったら $r$ で割って $a_0$ を作っておこう。 $a_1$ が初項だと $r$ の指数が $(n-1)$ になって面倒なので)

この数列を $a_m$ から $a_n$ まで足した値はいくつになるか？ $\Sigma$ や省略のない形で表したい。

まず単純に和を取ってみると、

\begin{equation}
\displaystyle \sum_{k=m}^nr^ka_0=r^ma_0+r^{m+1}a_0+r^{m+2}a_0+\cdots +r^{n-1}a_0+r^na_0 \tag{1}
\end{equation}

これだけでは良く分からない。

式(1)の両辺を $r$ 倍する。

\begin{equation}
\displaystyle r\sum_{k=m}^nr^ka_0=r^{m+1}a_0+r^{m+2}a_0+r^{m+3}a_0+\cdots +r^{n}a_0+r^{n+1}a_0 \tag{2}
\end{equation}

式(1)から式(2)を辺々引くと、ほとんどの項が打ち消し合う。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \require{cancel}
\sum_{k=m}^nr^ka_0&=&r^ma_0+&\cancel{r^{m+1}a_0}+\cancel{r^{m+2}a_0}+\cancel{\cdots} +\cancel{r^{n-1}a_0}+\cancel{r^na_0}\\
-\bigg) \quad r\sum_{k=m}^nr^ka_0&=& &\cancel{r^{m+1}a_0}+\cancel{r^{m+2}a_0}+\cancel{\cdots} +\cancel{r^{n-1}a_0}+\cancel{r^{n}a_0}&+r^{n+1}a_0\\
\hline
(1-r)\sum_{k=m}^nr^ka_0&=&r^ma_0& &-r^{n+1}a_0
\end{eqnarray}

右辺を $a_0$ でくくる。
\begin{equation}(1-r)\sum_{k=m}^nr^ka_0 = a_0(r^m-r^{n+1}) \end{equation}

$r\neq1$ として、両辺を $1-r$ で割る。*1