三項漸化式の特性方程式

以下のような形の三項間漸化式を解く。すなわち一般項 $a_n$ を閉じた形で表す。

\begin{equation}
a_{n+2} = ba_{n+1}+ca_n \tag{1}
\end{equation}

そのために式(1)を変形し、以下のような形にしたい。

\begin{equation}
a_{n+2} -p a_{n+1} = q(a_{n+1}-p a_n) \tag{2}
\end{equation}

そうすれば、新たな数列 $a_{n+1}-p a_{n}$ は公比 $q$ の等比数列になるためである。

式(2)の右辺を展開する。

\begin{equation}
a_{n+2} -p a_{n+1} = q a_{n+1}-p q a_n
\end{equation}

$a_{n+1}$ の項を右辺に移項する。

\begin{equation}
a_{n+2} = p a_{n+1}+q a_{n+1}-p q a_n
\end{equation}

$a_{n+1}$ でくくる。

\begin{equation}
a_{n+2} = (p+q)a_{n+1}-pqa_n \tag{2'}
\end{equation}

これで式(1)と式(2')は同形となった。 $a_{n+1}$ と $a_n$ の係数を比較すると、

\begin{eqnarray}
b&=&p+q\\
c&=&-pq
\end{eqnarray}である。ここで、 $b$ と $c$ は与えられていて、 $p$ と $q$ を求めたい。どうすればよいか？

ここで新しく方程式 $x^2-bx-c=0$ を考える。 $b$ と $c$ に対して $p$ と $q$ を代入すると、

\begin{equation}
x^2-(p+q)x+pq=0
\end{equation}

この式の左辺は

\begin{equation}
(x-p)(x-q)=0
\end{equation}

と因数分解できるので、 $x=p, x=q$ の2つの解を持つ。

つまり、 $p$ と $q$ を知るためには、 $b$ と $c$ を用いた2次方程式 $x^2-bx-c=0$ を解けばよいのである。この方程式を隣接2項による漸化式の時と同様に特性方程式と呼ぶ。

また、 $p$ と $q$ は対称であるので、どちらを公比にしても問題ない。

\begin{equation}
a_{n+2} -p a_{n+1} = q(a_{n+1}-p a_n) \tag{2}
\end{equation}

から $p$ と $q$ を入れ替えた

\begin{equation}
a_{n+2} -q a_{n+1} = p(a_{n+1}-q a_n) \tag{3}
\end{equation}

もまた成り立つのである。ここからは特性方程式が持つ解の形で2パターンに分かれる。

すなわち特性方程式が、

の2パターンである。(特性方程式の解が2つの複素数になっても項目1に含める)

A4の宇宙