三項漸化式 - 特性方程式が2つの解を持つ場合

特性方程式とは何か？

こちらを参照。

解がの場合

式(2)と式(3)の漸化式を等比数列に変形する。初項と次の項をそれぞれとした。

\begin{eqnarray}
a_{n+1} -p a_{n} &=& q^n(a_{1} -p a_{0}) \tag{4}\\
a_{n+1} -q a_{n} &=& p^n(a_{1} -q a_{0}) \tag{5}
\end{eqnarray}

式(5)から式(4)を辺々引くとが消える。

\begin{eqnarray}
(p-q)a_n&=&p^n (a_1- q a_0)-q^n( a_1-p  a_0)
\end{eqnarray}

両辺をで割る。(としているので0割の心配はない)

\begin{equation}
\underline{a_n=\frac{p^n (a_1- q a_0)-q^n( a_1-p  a_0)}{p-q}}
\end{equation}

一般項が求められた。

テストで解くときには式(4)と式(5)の段階で数値を代入した方が計算が楽であるが、代数での記述も美しい。

例題

以下の漸化式を解き、一般項を求める。
\begin{eqnarray}
a_{n+2}&=&5a_{n+1}-6a_n\\
a_0&=&5\\
a_1&=&7
\end{eqnarray}

特性方程式は、

因数分解してなので、解はである。

等比数列に変換する。

\begin{eqnarray}
a_{n+1}-2a_n&=&3^n(7-2\cdot5)\\
a_{n+1}-3a_n&=&2^n(7-3\cdot5)
\end{eqnarray}

カッコ内を計算する。

\begin{eqnarray}
a_{n+1}-2a_n&=&-3 \cdot 3^n\\
a_{n+1}-3a_n&=&-8 \cdot2^n
\end{eqnarray}

上の式から下の式を辺々引く。

\begin{equation}
\underline{a_n=8 \cdot 2^n -3 \cdot 3^n}
\end{equation}

一般項が求められた。

検算してみる。漸化式から、

\begin{eqnarray}
a_0&=&5\\
a_1&=&7\\
a_2&=&5\cdot7-6\cdot5=35-30=5\\
a_3&=&5\cdot5-6\cdot7=25-42=-17\\
\end{eqnarray}

一般項から、

\begin{eqnarray}
a_0&=&8\cdot2^0-3\cdot3^0=8-3=5\\
a_1&=&8\cdot2^1-3\cdot3^1=16-9=7\\
a_2&=&8\cdot2^2-3\cdot3^2=32-27=5\\
a_3&=&8\cdot2^3-3\cdot3^3=64-81=-17\\
\end{eqnarray}

からまでのの結果が一致していることが確認できた。