オイラーの公式

概要

これまでに $\sin x$ と $\cos x$ のマクローリン展開を導出してきた。

$\sin x$ のマクローリン展開
\begin{eqnarray}
\displaystyle \sin x=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7+\cdots
\end{eqnarray}

$\cos x$ のマクローリン展開
\begin{eqnarray}
\displaystyle \cos x=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\frac{1}{6!}x^6+\cdots
\end{eqnarray}

これらを用いてオイラーの公式 $e^{ix}=\cos x+ i \sin x$ を導く。

導出

$\cos x + i \sin x$ のマクローリン展開

これらを用いて複素数平面の極座標表示、 $\cos x+ i \sin x$ を書き直してみる。ここで $i$ は虚数単位、すなわち2乗すると $-1$ になる数である。

\begin{eqnarray}
\cos x + i \sin x&=&\left(1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\cdots\right)+i\left(x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\cdots\right)\\
&=&1+ix-\frac{1}{2}x^2-\frac{i}{3!}x^3+\frac{1}{4!}x^4+\frac{i}{5!}x^5-\cdots
\end{eqnarray}

実数と虚数を区別せず、昇べきの順に並べなおした。

この形は以下に再掲する $e^x$ のマクローリン展開によく似ている。

\begin{eqnarray}
\displaystyle e^x&=&1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{4!}x^4+\frac{1}{5!}x^5+\cdots\\
&=&\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}x^n
\end{eqnarray}

しかし全く同じではない。 $\cos x + i \sin x$ の方では、

2項ごとに項の正負が入れ替わっている。
$x$ が奇数次の項に虚数単位 $i$ が掛かっている。

という2つの違いがあることが分かる。

しかし、結局これらは同じことを説明している。すなわち以下のように書けばよい。

\begin{eqnarray}
\cos x + i \sin x&=&1+ix-\frac{1}{2}x^2-\frac{i}{3!}x^3+\frac{1}{4!}x^4+\frac{i}{5!}x^5-\cdots\\
&=&\sum_{n=0}^{\infty} \frac{i^n}{n!}x^n
\end{eqnarray}
各項に $i^n$ がかかっていると考えることで、上記2つの違いを同時に説明できるのである。

例えば $n=3$ の時に足される項は、 $\displaystyle \frac{i^3}{3!}x^3=-\frac{i}{3!}x^3$ であり、 $n=4$ の時に足される項は、 $\displaystyle \frac{i^4}{4!}x^4= (-1)\times (-1)\times \frac{1}{4!}x^4=\frac{1}{4!}x^4$ である。いずれも上式と一致していることが分かる。

$e^{ix}$ のマクローリン展開

他にもこのようにマクローリン展開できる関数があるだろうか？ここで新たに $e^{ix}$ という関数を考える。指数関数の指数部分には実数のみが用いられていたが、これを虚数や複素数にも拡張するのである。

以下、定義通りに $f(x)=e^{ix}$ のマクローリン展開を実行する。

$f(x)=e^{ix}$ を微分して $x=0$ を代入し、 $f^{(n)}(0)$ を求める。

まず $f(0)=e^{i0}=1$ である。

一階微分

\begin{eqnarray}
f'(x)&=&i e^{ix}\\
f'(0)&=&i
\end{eqnarray}

二階微分

\begin{eqnarray}
f''(x)&=&i^2e^{ix}=-e^{ix}\\
f''(0)&=&-1\\
\end{eqnarray}

三階微分
\begin{eqnarray}
f'''(x)&=&-i e^{ix}\\
f'''(0)&=&-i\\
\end{eqnarray}

四階微分
\begin{eqnarray}
f^{(4)}(x)&=&e^{ix}\\
f^{(4)}(0)&=&1\\
\end{eqnarray}

計算した $f^{(n)}(0)$ をマクローリン展開の式に代入する。

\begin{eqnarray}
f(x)&=&f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots\\
&=&1+ix-\frac{1}{2!}x^2-\frac{i}{3!}x^3+\frac{1}{4!}x^4+\cdots\\
&=& \sum_{k=0}^\infty \frac{i^n}{k!}x^k
\end{eqnarray}

$\cos x + i\sin x$ のマクローリン展開と全く同じになった。

収束半径

$e^{ix}$ をマクローリン展開したべき級数の収束半径を導出する。

$\displaystyle a_k=\frac{i^k}{k!}$ 、 $\displaystyle a_{k+1}=\frac{i^{k+1}}{(k+1)!}$ である。これらの値を代入して $L=\displaystyle \lim_{k \to \infty} \frac{|a_{k+1}|}{|{a_k}|}$ を求める。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
\lim_{k \to \infty} \frac{|a_{k+1}|}{|{a_k}|}&=&\lim_{k \to \infty} \frac{ \left| \frac{i^{k+1}}{(k+1)!} \right|}{ \left| \frac{i^k}{k!} \right|}\\
&=&\lim_{k \to \infty} \left| \frac{i^{k+1} k!}{i^k (k+1)! }\right| \\
&=&\lim_{k \to \infty} \left| \frac{i^\xcancel{{k+1}}\cancel{k!}}{\xcancel{i^k} (k+1)\cancel{!} }\right| \\
&=&\lim_{k \to \infty} \left| \frac{ i }{ (k+1) }\right|\\
&=& 0
\end{eqnarray}

すなわち、判定値 $L=0$ であり、収束半径は $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{L}}=\frac{1}{0}=\infty$ である。

これはマクローリン展開の次数が十分大きければ、どのような $x$ においても収束させることができることを意味する。本質的に $\displaystyle e^{ix}=1+ix-\frac{1}{2!}x^2-\frac{i}{3!}x^3+\frac{1}{4!}x^4+\cdots$ と表してよいのである。