sin xのマクローリン展開

概要

基準点を $x=0$ としたテイラー展開は特に有用なことがあり、マクローリン展開と呼ばれる。 $\sin x$ のマクローリン展開を行う。

導出

$f(x)=\sin x$ を微分して $x=0$ を代入し、 $f^{(n)}(0)$ を求める。

まず $f(0)=\sin 0=0$ である。

一階微分

\begin{eqnarray}
f'(x)&=&\cos x\\
f'(0)&=&1\\
\end{eqnarray}

二階微分

\begin{eqnarray}
f''(x)&=&-\sin x\\
f''(0)&=&0\\
\end{eqnarray}

三階微分
\begin{eqnarray}
f'''(x)&=&-\cos x\\
f'''(0)&=&-1\\
\end{eqnarray}

四階微分
\begin{eqnarray}
f^{(4)}(x)&=&\sin x\\
f^{(4)}(0)&=&0\\
\end{eqnarray}

五階微分
\begin{eqnarray}
f^{(5)}(x)&=&\cos x\\
f^{(5)}(0)&=&1\\
\end{eqnarray}

計算した $f^{(n)}(0)$ をマクローリン展開の式に代入する。

\begin{eqnarray}
f(x)&=&f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\frac{f^{(5)}(0)}{5!}x^5+\cdots\\
&=&0+1\cdot x+\frac{0}{2!}\cdot x^2+\frac{-1}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\frac{1}{5!}x^5+\cdots\\
&=&x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7+\cdots\\
\end{eqnarray}

$a_n=0$ となる項を飛ばし、 $n$ の代わりに新たな変数 $k$ を用いて $\sum$ を書き直す。

\begin{eqnarray}
f(x)&=&x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7+\cdots\\
&=&\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k -1}}{(2k-1)!}x^{2k-1}\\
\end{eqnarray}

綺麗にまとまった。

収束半径

導出式再計算

$\sin x$ をマクローリン展開したべき級数の収束半径を導出する。しかし、今回は対象が通常のべき級数ではなく、奇数次の項だけを持つべき級数なので、導出式を再計算する必要がある。

奇数次べき数列 $a_k x^{2k-1}$ をダランベールの判定式に代入して級数 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_k x^{2k-1}$ の収束判定を行う。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
\lim_{k \to \infty} \frac{|a_{k+1}x^{2k+1}|}{|a_k x^{2k- 1}|}&<&1\\
\lim_{k \to \infty} \frac{|a_{k+1}x^{\cancelto{2}{2k+1}}|}{|a_k \cancel{x^{2k-1}}|}&<&1\\
\lim_{k \to \infty} \frac{|a_{k+1}|}{|a_k|}|x^2|&<&1\\
|x^2|\lim_{k \to \infty} \frac{|a_{k+1}|}{|a_k|}&<&1
\end{eqnarray}

分子と分母の $x^{2k-1}$ が打ち消し合い、 $x^2$ だけが残った。

$\displaystyle \lim_{k \to \infty} \frac{|a_{k+1}|}{|a_k|}=L$ と置いて両辺を $L$ で割る。 $L$ は絶対値同士の商なので不等号の向きは変わらない。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
|x^2|\lim_{k \to \infty} \frac{|a_{k+1}|}{|a_k|}&<&1\\
|x^2| L&<&1\\
|x^2| &<&\frac{1}{L}\\
-\frac{1}{\sqrt{L}}<x &<&\frac{1}{\sqrt{L}}\\
\end{eqnarray}

$x$ の取りうる範囲が定まった。収束半径は $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{L}}$ と表せる。あとはこの $\displaystyle L= \lim_{k \to \infty} \frac{|a_{k+1}|}{|a_k|}$ を求めればよい。

今回の式への適用

$\displaystyle a_k=\frac{(-1)^{k -1}}{(2k-1)!}$ 、 $\displaystyle a_{k+1}=\frac{(-1)^{k }}{(2k+1)!}$ である。これらの値を代入して $L$ を求める。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
\lim_{k \to \infty} \frac{|a_{k+1}|}{|{a_k}|}&=&\lim_{k \to \infty} \frac{ \left| \frac{(-1)^{k }}{(2k+1)!} \right|}{ \left| \frac{(-1)^{k -1}}{(2k-1)!} \right|}\\
&=&\lim_{k \to \infty} \left| \frac{(-1)^k (2k-1)! }{ (-1)^{k -1} (2k+1)! }\right| \\
&=&\lim_{k \to \infty} \left| \frac{(-1)^\cancel{k} (2k-1)! }{ \cancel{(-1)^{k -1}} (2k+1)! }\right| \\
&=&\lim_{k \to \infty} \left| \frac{ -1 }{ (2k+1)2k }\right|\\
&=& 0
\end{eqnarray}

すなわち、判定値 $L=0$ であり、収束半径は $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{L}}=\frac{1}{\sqrt{0}}=\infty$ である。

これはマクローリン展開の次数が十分大きければ、どのような $x$ においても収束させることができることを意味する。本質的に $\displaystyle \sin x=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7+\cdots$ と表してよいのである。