A4の宇宙

数学と物理をA4ノートに収まる範囲で。

収束半径の導出

数学 数列

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概要

ダランベールの収束判定法を使ってテイラー展開の収束半径を計算する。

 

ダランベールの収束判定法(再掲)

級数 \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_nが収束するかどうか、以下の式で判定できる。

 

  • 足し合わされる数列 a_nが以下の条件を満たすとき、級数は収束する。

\begin{eqnarray}
\lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} < 1
\end{eqnarray}

 

  • a_nが以下の条件を満たすとき、級数は発散する。

\begin{eqnarray}
\lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} > 1
\end{eqnarray}

 

  • a_nが以下の条件を満たすときは、収束することも発散することもあり、判定できない。

\begin{eqnarray}
\lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = 1
\end{eqnarray}

 

成り立つ原理はこちらを参照。

 

べき級数への適用

各a_nに(x-a)^nがかかった、べき級数 \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-a)^nの収束判定を行う。このaはテイラー展開の基準点である。

 

べき数列a_n x^nを判定式に代入する。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
\lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}(x-a)^{n+1}|}{|a_n (x-a)^{n}|}&<&1\\
\lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}(x-a)^{\cancel{n+1}}|}{|a_n \cancel{(x-a)^{n}}|}&<&1\\
\lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}|x-a|&<&1\\
\end{eqnarray}

分子と分母の(x-a)^nが打ち消し合い、|x-a|だけが残った。

 

|x-a|はもはやnに関係ないので \displaystyle \lim_{n \to \infty}の外に出してしまう。 

\begin{eqnarray} \require{cancel}
|x-a|\lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}&<&1
\end{eqnarray}

べき級数 \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^nの収束条件が求められた。

 

収束半径

x-aがどんな値ならば収束条件を満たすだろうか。

ここで \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}をLと置く。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
|x-a|\lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}&<&1\\
|x-a|L&<&1
\end{eqnarray}

 

不等式の両辺をLで割る。(Lは絶対値同士の商なので正の値であり、不等号の向きは変わらない。)

\begin{eqnarray} \require{cancel}
|x-a|&<&\frac{1}{L}
\end{eqnarray}

 

最後に不等式を絶対値無しで書き直す。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
-\frac{1}{L}<x-a<\frac{1}{L}
\end{eqnarray}

 

収束のためにx-aがとりうる値が示された。 \displaystyle \frac{1}{L}が収束半径を表す。 

 

マクローリン展開ではa=0であるので、以下のようになる。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
-\frac{1}{L}<x<\frac{1}{L}
\end{eqnarray} 

ln(x+1)のマクローリン展開の収束領域が-1 \lt x \lt 1であったことと整合していることが分かる。

 

Lはもともと、べき級数でない級数 \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_nをダランベールの収束判定式に代入した値であった。それが分母に来ているので、「足される数列a_nが高速に収束するならば、Lが小さくなり、x-aの取りうる値が広い」という関係になっている。