収束半径の導出

概要

ダランベールの収束判定法を使ってテイラー展開の収束半径を計算する。

ダランベールの収束判定法(再掲)

級数が収束するかどうか、以下の式で判定できる。

• 足し合わされる数列が以下の条件を満たすとき、級数は収束する。

\begin{eqnarray}
\lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} < 1
\end{eqnarray}

• が以下の条件を満たすとき、級数は発散する。

\begin{eqnarray}
\lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} > 1
\end{eqnarray}

• が以下の条件を満たすときは、収束することも発散することもあり、判定できない。

\begin{eqnarray}
\lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = 1
\end{eqnarray}

成り立つ原理はこちらを参照。

べき級数への適用

各にがかかった、べき級数の収束判定を行う。このはテイラー展開の基準点である。

べき数列を判定式に代入する。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
\lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}(x-a)^{n+1}|}{|a_n (x-a)^{n}|}&<&1\\
\lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}(x-a)^{\cancel{n+1}}|}{|a_n \cancel{(x-a)^{n}}|}&<&1\\
\lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}|x-a|&<&1\\
\end{eqnarray}

分子と分母のが打ち消し合い、だけが残った。

はもはやに関係ないのでの外に出してしまう。 

\begin{eqnarray} \require{cancel}
|x-a|\lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}&<&1
\end{eqnarray}

べき級数の収束条件が求められた。

収束半径

がどんな値ならば収束条件を満たすだろうか。

ここでをと置く。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
|x-a|\lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}&<&1\\
|x-a|L&<&1
\end{eqnarray}

不等式の両辺をで割る。(は絶対値同士の商なので正の値であり、不等号の向きは変わらない。)

\begin{eqnarray} \require{cancel}
|x-a|&<&\frac{1}{L}
\end{eqnarray}

最後に不等式を絶対値無しで書き直す。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
-\frac{1}{L}<x-a<\frac{1}{L}
\end{eqnarray}

収束のためにがとりうる値が示された。が収束半径を表す。 

マクローリン展開ではであるので、以下のようになる。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
-\frac{1}{L}<x<\frac{1}{L}
\end{eqnarray} 

ln(x+1)のマクローリン展開の収束領域がであったことと整合していることが分かる。

はもともと、べき級数でない級数をダランベールの収束判定式に代入した値であった。それが分母に来ているので、「足される数列が高速に収束するならば、が小さくなり、の取りうる値が広い」という関係になっている。