収束判定の例題

例題

$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)}$ を収束判定し、収束するならその値を求める。

この足し合わされる数列は $n=1$ でいきなり無限大に発散してしまうので $n=2$ からの和とした。

導出

まず $\displaystyle \frac{1}{n(n-1)}$ を分数の和に変形する。

以下のように置いて $A$ 、 $B$ の値を求める。

\begin{eqnarray}
\frac{1}{n(n-1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n-1} \tag{1}
\end{eqnarray}

右辺を通分して実際に足してしまう。

\begin{eqnarray}
\frac{1}{n(n-1)}&=&\frac{A}{n}+\frac{B}{n-1}\\
\frac{1}{n(n-1)}&=&\frac{A(n-1)+Bn}{n(n-1)}\\
\frac{1}{n(n-1)}&=&\frac{(A+B)n-A}{n(n-1)}
\end{eqnarray}

係数を比較すると、 $A+B=0, -A=1$ であることが分かるので、 $A=-1, B=1$ となる。式(1)に $A, B$ を代入する。

\begin{eqnarray}
\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}
\end{eqnarray}

すなわち求める無限和は以下のように書ける。

\begin{eqnarray}
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)}&=&\sum_{n=2}^{\infty} \left[ \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n} \right]
\end{eqnarray}

これを書き下す。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
\sum_{n=2}^{\infty} \left[ \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n} \right]&=&\left[\frac{1}{1}-\frac{1}{2} \right]+\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right]+\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right]+\left[\frac{1}{4}-\frac{1}{5} \right]+\cdots\\
&=&\left[\frac{1}{1}-\cancel{\frac{1}{2}} \right]+\left[\cancel{\frac{1}{2}}-\cancel{\frac{1}{3}} \right]+\left[\cancel{\frac{1}{3}}-\cancel{\frac{1}{4}} \right]+\left[\cancel{\frac{1}{4}}-\cancel{\frac{1}{5}} \right]+\cdots\\
&=&1
\end{eqnarray}

この和は相互に打ち消し合い、結局 $1$ に収束することが分かった。

ゼータ関数との関係

この手法で $\displaystyle \zeta(2)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ の収束判定はできない(A, Bが定まらない)のだが、ヒントを得ることができる。

$n \geqq 2$ において、 $\displaystyle \frac{1}{n^2} \lt \frac{1}{n(n-1)}$ であるので、以下の不等式が成り立つ。

\begin{eqnarray}
\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2} < \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n(n-1)}
\end{eqnarray}

左辺を $n=1$ からの和にしたいので、 $\zeta(2)$ の $n=1$ の項を両辺に足す。

\begin{eqnarray}
\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2}+\frac{1}{1^2} &<& \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n(n-1)}+\frac{1}{1^2}\\
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} &<& \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n(n-1)}+1\\
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} &<& 1+1\\
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} &<& 2\\
\end{eqnarray}

すなわち $\zeta(2)$ は無限大に発散するのではなく、2よりも小さい値に収束することが分かる。