指数の基数を変換する

概要

のような指数関数があるとき、基数を好きな数に変換したいことがしばしばある。

一例として、任意の基数を持つ指数関数を微分するために基数をネイピア数に変換したり、逆に変数分離法の微分方程式の解として現れたを目的の基数を持つ指数関数に変換したりすることが挙げられる。この方法を導く。

導出

以下の指数関数の基数をに変換したいとする。

\begin{eqnarray}
y=a^x
\end{eqnarray}

両辺のをとり、対数関数の性質を用いて変形する。

\begin{eqnarray}
\log_b y= \log_b a^x\\
\log_b y= x\log_b a
\end{eqnarray}

について整理する。

\begin{eqnarray}
y= b^{x \log_b a}
\end{eqnarray}

を代入する。

\begin{eqnarray}
a^x = b^{x \log_b a}
\end{eqnarray}

対数関数の底をからに変換できた。

ここで右辺指数部のはある定数になっていることに注意。これはすべての指数関数は、指数部に定数を掛けることで基数を相互に変換できることを意味する。