対数の底を変換する

概要

のような対数関数があるとき、底を好きな数に変換したいことがしばしばある。

一例として、任意の底を持つ対数関数を微分するために底をに変換したり、逆にを積分するなどして現れた自然対数を目的の底を持つ対数に変換したりすることが挙げられる。この方法を導く。

導出

以下の対数関数の底をに変換したいとする。

\begin{eqnarray}
y= \log_a x
\end{eqnarray}

指数関数として書き直す。

\begin{eqnarray}
a^y= x
\end{eqnarray}

両辺のをとり、対数関数の性質を用いて変形する。

\begin{eqnarray}
\log_b a^y= \log_b x\\
y\log_b a= \log_b x
\end{eqnarray}

について整理する。

\begin{eqnarray}
y= \frac{\log_b x}{\log_b a}
\end{eqnarray}

を代入する。

\begin{eqnarray}
\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}
\end{eqnarray}

対数関数の底をからに変換できた。

ここで右辺分母のはある定数になっていることに注意。これはすべての対数関数は、定数を掛けるだけで底を相互に変換できることを意味する。