指数表記された三角関数の手触りを確かめる

前回までに、オイラーの公式を用いて三角関数を指数関数形式で表せることを示した。

この形式でも三角関数としての性質が保たれていることを、いくつかの代表的な性質から確認する。

$\sin x$ と $\cos x$ の指数関数表記を再度書く。

\begin{eqnarray}
\sin x&=&\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\cos x&=&\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}
\end{eqnarray}

$\sin 0 =0$ を確かめる。

左辺を変形して右辺を目指す。

\begin{eqnarray}
\sin 0&=&\frac{e^{i0}-e^{-i0}}{2i}\\&=&\frac{1-1}{2i}\\&=&0
\end{eqnarray}

合っている。

$\cos 0 =1$ を確かめる。

左辺を変形して右辺を目指す。

\begin{eqnarray}
\cos 0&=&\frac{e^{i0}+e^{-i0}}{2}\\&=&\frac{1+1}{2}\\&=&1
\end{eqnarray}

合っている。

$\sin^2 x+ \cos^2 x=1$ を確かめる。

左辺を変形して右辺を目指す。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
\sin^2 x+ \cos^2 x&=&\left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^2+\left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^2\\
&=&\frac{e^{2ix}-2+e^{-2ix}}{-4}+\frac{e^{2ix}+2+e^{-2ix}}{4}\\
&=&\frac{\cancel{-e^{2ix}}+2-\xcancel{e^{-2ix}}}{4}+\frac{\cancel{e^{2ix}}+2+\xcancel{e^{-2ix}}}{4}\\
&=&1
\end{eqnarray}

合っている。

$(\sin x)'=\cos x$ を確かめる。

左辺を変形して右辺を目指す。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
( \sin x)'&=&\left( \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \right)'\\
&=&\frac{i e^{ix}+i e^{-ix}}{2i}\\
&=&\frac{\cancel{i}e^{ix}+\cancel{i}e^{-ix}}{2\cancel{i}}\\
&=&\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\\
&=& \cos x
\end{eqnarray}

合っている。

$(\cos x)'=-\sin x$ を確かめる。

左辺を変形して右辺を目指す。

\begin{eqnarray}
( \cos x)'&=&\left( \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \right)'\\
&=&\frac{i e^{ix}-i e^{-ix}}{2}
\end{eqnarray}

分子と分母に $i$ をかける。

\begin{eqnarray}
(\cos x)'&=&\frac{-e^{ix}+e^{-ix}}{2i}\\
&=&-\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\\
&=& -\sin x
\end{eqnarray}

合っている。

$\sin 2x=2 \sin x \cos x$ を確かめる。

今回は右辺を変形して左辺を目指す。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
2 \sin x \cos x&=&2 \cdot \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \cdot \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\\
&=&2 \cdot \frac{e^{2ix}-e^{2ix}}{4i}\\
&=&\frac{e^{2ix}-e^{2ix}}{2i}\\
&=&\sin 2x
\end{eqnarray}

合っている。

$\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a \sin b$ を確かめる。

今回は右辺を変形して左辺を目指す。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
\sin a\cos b+\cos a \sin b &=&\frac{e^{ia}-e^{-ia}}{2i} \cdot \frac{e^{ib}+e^{-ib}}{2}+\frac{e^{ia}+e^{-ia}}{2} \cdot \frac{e^{ib}-e^{-ib}}{2i}\\
&=&\frac{e^{i(a+b)}-\cancel{e^{i(b-a)}}+\xcancel{e^{i(a-b)}}-e^{-i(a+b)}}{4i}+\frac{e^{i(a+b)}-\xcancel{e^{i(a-b)}}+\cancel{e^{i(b-a)}}-e^{-i(a+b)}}{4i}\\
&=&\frac{2e^{i(a+b)}-2e^{-i(a+b)}}{4i}\\
&=&\frac{e^{i(a+b)}-e^{-i(a+b)}}{2i}\\
&=&\sin (a+b)
\end{eqnarray}

合っている。

代表的な三角関数の性質が、指数関数表記でも成り立っていることが確かめられた。