対数関数の微分

対数関数 $y=\log_{a} x$ を、変数 $x$ で微分したい。微分の定義に従って代入する。

\begin{equation}
y'=\lim_{h \to 0} \frac{\log_{a} {(x+h)}-\log_a x}{h}
\end{equation}

ここから対数関数の性質を用いて式を変形していく。

\begin{eqnarray}
y'&=&\lim_{h \to 0} \frac{\log_a \left( \frac{x+h}{x} \right)}{h}\\
&=&\lim_{h \to 0} \frac{\log_a \left( 1+\frac{h}{x} \right)}{h}\\
&=&\lim_{h \to 0} \log_a \left( 1+\frac{h}{x} \right)^{\frac{1}{h}}
\end{eqnarray}

ここで新たな変数 $\displaystyle t=\frac{h}{x}$ を導入し、 $h$ を消去する。 $h=tx$ と書ける。また、 $h \to 0$ のとき $t \to 0$ である。

\begin{eqnarray}
y'&=&\lim_{t \to 0} \log_a \left( 1+t \right)^{\frac{1}{tx}}\\
&=&\lim_{t \to 0} \frac{1}{x} \log_a \left( 1+t \right)^{\frac{1}{t}}\\
&=& \frac{1}{x} \lim_{t \to 0} \log_a \left( 1+t \right)^{\frac{1}{t}}\\
\end{eqnarray}

対数の性質を用いて $\displaystyle \frac{1}{x}$ を $\lim$ の外に出せた。

すなわち、 $y'$ は $\displaystyle \frac{1}{x}$ に何らかの係数がかかった形になる。もし、この係数 $\displaystyle \lim_{t \to 0} \log_a \left( 1+t \right)^{\frac{1}{t}}$ が1に等しければ、 $\displaystyle y'=\frac{1}{x}$ とシンプルに書けるのでうれしい。

係数 $=1$ が成り立つのは、対数の底と真数が等しい時、すなわち $\displaystyle a= \lim_{t \to 0}{(1+t)^{\frac{1}{t}}}$ の時である。実際にエクセル等で右辺を計算すると、 $\displaystyle \lim_{t \to 0}{(1+t)^{\frac{1}{t}}}=2.71828\cdots$ という一つの無理数に収束する。