100連ガチャ爆死の確率

ガチャ

☆5(当たり)が1%の確率で排出されるガチャを100連で回す。まあ $\displaystyle \frac{1}{100}$ を100回引くんだから大体当たるだろう。

本当にそうだろうか？もしガチャでなくて100枚のクジならば、外れるたびに外れが減っていくので100回引けば1枚は必ず当たりである。しかしガチャでは外れても毎回外れが補充され続けるため、外れだけを引き続ける可能性もある。実際にはどれぐらいの確率になるのだろうか。

1回だけ引いて外れの確率

当たりの確率は1%なので、外れの確率は $100-1=99\%$ である。

大爆死(100回連続外れ)の確率

この確率を100乗した $0.99^{100}$ が100連続外れの確率となる。100連を回して $n$ 回当たる確率を $p_n$ と表すことにしよう。

\begin{eqnarray}
p_0&=&0.99^{100}\\
&\sim& 0.366 = \underline{36.6\%}
\end{eqnarray}

つまり百連ガチャを回しても、全盛期イチローの打率で爆死するので注意。

1回以上当たる確率

これは要するに $1-p_0$ であるから

\begin{eqnarray}
p_{\geqq 1}&=&1-0.366\\
&\sim& 0.634 = \underline{63.4\%}
\end{eqnarray}

となる。どうだろう。思ったより低いのではないだろうか。

当たり回数ごとの確率

99回外れ、1回当たりの確率

\begin{eqnarray}
p_1&=&_{100} \mathrm C _{1} 0.99^{99} 0.01^{1}\\
&\sim& 0.370 = 37.0\%
\end{eqnarray}

98回外れ、2回当たりの確率

\begin{eqnarray}
p_2&=&_{100} \mathrm C _{2} 0.99^{98} 0.01^{2}\\
&\sim& 0.185= 18.5\%
\end{eqnarray}

97回外れ、3回当たりの確率

\begin{eqnarray}
p_3&=&_{100} \mathrm C _{3} 0.99^{97} 0.01^{3}\\
&\sim& 0.061= 6.1\%
\end{eqnarray}

96回外れ、4回当たりの確率

\begin{eqnarray}
p_4&=&_{100} \mathrm C _{4} 0.99^{96} 0.01^{4}\\
&\sim& 0.015=1.5\%
\end{eqnarray}

5回以上当たりの確率

\begin{eqnarray}
p&=&1-(p_0+p_1+p_2+p_3+p_4)\\
&\sim&1-(0.366+0.370+0.185+0.061+0.015)\\
&=&0.003 =0.3\%
\end{eqnarray}

つまり $_{100} \mathrm C _{n}$ の部分は $n$ とともに大きくなるのだが、それを上回るペースで $0.01^n$ がどんどん小さくなっていくので、掛け算の結果、確率は下がっていく。

☆5(当たり)枚数の期待値 $E$

6回以上の当たりは低確率なので全て5枚に丸める(この計算値は真の期待値よりちょっと下がる)。

\begin{eqnarray}
E&=&0 \cdot p_0+1 \cdot p_1+2 \cdot p_2+3 \cdot p_3+4 \cdot p_4+ 5 \cdot p_5\\
&=& 0 \cdot 0.366 +1 \cdot 0.370 +2 \cdot 0.185 +3 \cdot 0.061+ 4 \cdot 0.015+5 \cdot 0.003\\
&=& \underline{0.999}
\end{eqnarray}

すなわち期待値は結局ガチャでもクジでも変わらず1枚となる。確かに外れも補充されるが、当たった時には当たりも補充されるため、2枚以上当たりの確率がそれなりにある。一概にユーザー不利とは言えないということである。

A4の宇宙

数学と物理をA4ノートに収まる範囲で。