自由落下運動空気抵抗あり2

速度 $v$ の一般解(再掲)

前回、空気抵抗があるときの自由落下速度の一般解を求めた。

\begin{equation}
v=C_1\exp{\left(-\frac{kt}{m}\right)}-\frac{mg}{k}
\end{equation}

ここで $C_1$ は任意定数、 $k$ は空気抵抗係数、 $t$ は時間、 $m$ は落下する物体の質量、 $g$ は重力加速度であった。

位置 $x$ の一般解

速度の一般解の両辺を $t$ でさらに積分し、位置の一般解を求めることができる。

\begin{eqnarray}
\int v dt&=&\int C_1\exp{\left(-\frac{kt}{m}\right)}dt-\int \frac{mg}{k} dt\\
x&=&-\frac{mC_1}{k}\exp{\left(-\frac{kt}{m}\right)}-\frac{mg}{k}t+C_2\\
\end{eqnarray}

$v$ の計算で現れていた任意定数 $C_1$ は、特殊解の計算に使用するのでまとめないでおく。 $C_2$ も任意定数である。こちらも $t$ が大きくなると右辺第1項は非常に小さくなり、第2項が支配的となる。その結果、等速直線運動に漸近していく。

空気抵抗係数 $k$ の具体的な値

$k$ がどれぐらいの数値になるのかを調べてみよう。 $k$ は落下する物体の断面積に比例するはずなので、落下する物体のサイズによって全く異なる値になることに注意。

今回は人体で計算してみる。この記事によれば、スカイダイビングの最高速度は時速180 kmに達する。これは終端速度 $\displaystyle \frac{mg}{k}$ が180 km/hrに等しいということである。

まず180 km/hrをSI単位系[m/sec]に変換する。

\begin{eqnarray}
180 \ \rm{km/hr} &=& 180,000 \ \rm{m/hr}\\
&=&\frac{180,000}{60\times60} \ \rm{m/sec}\\
&=&\frac{180,000}{3,600} \ \rm{m/sec}\\
&=& 50 \ \rm{m/sec}
\end{eqnarray}

$\displaystyle v=\frac{mg}{k}$ に代入する。 $g=10 \ \rm{ms^{-2}}$ とした。また、落下物は人体なので $m=60 \ \rm{kg}$ とした。