自由落下運動 - 空気抵抗有無の比較1

これまでに導いた空気抵抗無しと有りの2つの自由落下運動を比較してみよう。導いた一般解を再度書き出す。

ここで $v$ は落下物の速度、 $x$ は位置、 $g$ は重力加速度、 $t$ は時間、 $k$ は空気抵抗係数、 $m$ は落下物の質量、 $v_0, x_0, C_1, C_2$ は任意定数である。いずれも上方向(重力 $mg$ と逆方向)を $+$ としていることに注意。

空気抵抗なしの自由落下

一般解

前回求めた一般解を再掲する。

速度

\begin{eqnarray}
v=-gt+v_0 \tag{1}
\end{eqnarray}

位置

\begin{eqnarray}
x=-\frac{1}{2}gt^2+v_0t+x_0 \tag{2}
\end{eqnarray}

特殊解

初期値を代入して特殊解を作る。

今回は $t=0$ において、基準点から静かに落下させたとする。すなわち初期値は $t=0$ で $v=0, x=0$ になる。

空気抵抗なしの場合、式(1)より $v_0=0$ 、式(2)より $x_0=0$ である。

速度

\begin{eqnarray}
v=-gt
\end{eqnarray}

位置

\begin{eqnarray}
x=-\frac{1}{2}gt^2
\end{eqnarray}

空気抵抗ありの自由落下

一般解

前回求めた一般解を再掲する。

速度

\begin{equation}
v=C_1\exp{\left(-\frac{kt}{m}\right)}-\frac{mg}{k} \tag{3}
\end{equation}

位置

\begin{eqnarray}
x&=&-\frac{mC_1}{k}\exp{\left(-\frac{kt}{m}\right)}-\frac{mg}{k}t+C_2 \tag{4}
\end{eqnarray}

特殊解

同様に、初期値を $t=0$ で $v=0, x=0$ として任意定数を定める。

任意定数の計算

式(3)に $t=0, v=0$ を代入して、

\begin{eqnarray}
v&=&C_1\exp{\left(-\frac{kt}{m}\right)}-\frac{mg}{k} \tag{3}\\
0&=&C_1\exp(0)-\frac{mg}{k}\\
C_1&=&\frac{mg}{k}
\end{eqnarray}

式(4)に $t=0, x=0, C_1=\frac{mg}{k}$ を代入して、

\begin{eqnarray}
x&=&-\frac{mC_1}{k}\exp{\left(-\frac{kt}{m}\right)}-\frac{mg}{k}t+C_2 \tag{4}\\
0&=&-\frac{m}{k}\frac{mg}{k}\exp(0)-0+C_2\\
C_2&=&\frac{m^2g}{k^2}
\end{eqnarray}

これらの定数を一般解に代入すると特殊解になる。

速度

\begin{eqnarray}
v&=&\frac{mg}{k} \exp{\left(-\frac{kt}{m}\right)}-\frac{mg}{k}\\
&=&\frac{mg}{k} \left[ \exp{\left(-\frac{kt}{m}\right)}-1 \right]
\end{eqnarray}

位置

\begin{eqnarray}
x&=&-\frac{m}{k} \frac{mg}{k} \exp{\left(-\frac{kt}{m}\right)}-\frac{mg}{k}t+\frac{m^2g}{k^2}\\
&=&-\frac{m^2g}{k^2} \exp{\left(-\frac{kt}{m}\right)}-\frac{mg}{k}t+\frac{m^2g}{k^2}
\end{eqnarray}