2019-05-13

x が0に近い時のsin x の性質弧の長さを用いる方法

数学幾何微分

循環論法

以前、扇型の面積を挟み打ちして $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} =1$ を導出した。この手法は分かりやすいが、実は循環論法の問題がある。

半径 $r$ を持つ円の面積が $\pi r^2$ であることは定義されたことや自明なことではない。証明するには三角関数の積分が必要であり、その際に既に $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} =1$ を知っている必要があるためである。

対策

円周率 $\pi$ の定義は円の直径 $2r$ と円周長の比であるので、半径 $r$ を持つ円の円周長が $2\pi r$ なことは定義されたこととして使用しても良い。これを出発点として $\displaystyle \frac{\sin x}{x} =1$ を導出すれば循環論法を回避できる。

導出

正 $n$ 角形

半径 $r$ の円に内接する正 $n$ 角形と外接する正 $n$ 角形を考える。下図に $n = 6$ の場合を示した。

f:id:dai-ig:20200126145130p:plain:w480

ここで、内接する正 $n$ 角形、円、外接する正 $n$ 角形の外周の長さをそれぞれ $A$ 、 $B$ 、 $C$ とする。これらの大小関係を比較すると、明らかに以下の関係が成り立つ。

\begin{eqnarray} A \lt B \lt C \end{eqnarray}

下図で色をつけた3本の線の長さに注目する。

f:id:dai-ig:20200209202950p:plain:w480

これらはそれぞれ $A$ 、 $B$ 、 $C$ を $2n$ で割ったものなので、大小関係は維持される。 \begin{eqnarray} \frac{ A }{2n }< \frac{ B }{ 2n } < \frac{ C }{ 2n } \end{eqnarray}

これらの3本の線の長さをを別の形式で表す。これらが直角三角形の高さまたは弧の長さであることを用いて線の長さを求める。

小さい直角三角形

f:id:dai-ig:20200209204018p:plain:w400

斜辺が $r$ と中心角 $x$ から高さが求まる。 \begin{equation} \frac{ A }{ 2n }=r \sin x \end{equation}

切り取られる円弧

f:id:dai-ig:20200209204059p:plain:w360

全体の円周 $2\pi r$ に角度の割合 $\frac{ x }{ 2\pi }$ を掛けた $rx$ が弧の長さになる。

\begin{equation} \frac{ B }{ 2n }=rx \end{equation}

大きい直角三角形

f:id:dai-ig:20200209204121p:plain:w480

今度は底辺が $r$ なので、まず斜辺 $\displaystyle \frac{ r }{ \cos x }$ 、次に高さ $\displaystyle r\frac{ \sin x }{ \cos x }$ が導かれる。

\begin{equation} \frac{ C }{ 2n }=r \frac{ \sin x }{ \cos x } \end{equation}

これらの長さの極限

求めた線の長さを $\frac{ A }{ 2n }$ 、 $\frac{ B }{ 2n }$ 、 $\frac{ C }{ 2n }$ に代入する。

\begin{equation} r\sin x \lt rx \lt r\frac{ \sin x }{ \cos x } \end{equation}

共通する $r$ を打ち消す。

\begin{equation} \sin x \lt x \lt \frac{ \sin x }{ \cos x } \end{equation}

$x\neq 0$ として全体を $\sin x$ で割る。

\begin{equation} 1 < \frac{ x }{ \sin x } < \frac{ 1 }{ \cos x } \end{equation}

全体の逆数をとる。不等号は逆向きになる。 \begin{equation} 1 > \frac{ \sin x }{ x } > \cos x \end{equation}

正 $n$ 角形の対角線は $2\pi$ ラジアンを $n$ 等分するので、中心角 $x$ は、そのさらに半分で以下のように表せる。

\begin{equation} x=\frac{ 2\pi }{ 2n }=\frac{ \pi }{ n } \end{equation}

ここで、内接、外接する $n$ 角形を $\infty$ 角形に近づけていく。この時、中心角 $x$ は限りなく $0$ に近づいていく。

\begin{equation} \lim_{x \to 0} 1> \lim_{x \to 0}\frac{ \sin x }{ x } > \lim_{x \to 0}\cos x\\ 1> \lim_{x \to 0}\frac{ \sin x }{ x } >1 \end{equation}

挟み打ちの原理より $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{ \sin x }{ x } =1$ が導かれた。

2019-04-28

Markdown記法の練習&メモ

はてなブログ

Markdownルールの概要

はてなブログではMarkdown記法が使用できる。HTMLコードの代わりに、特定のコマンド文字を使って文を簡単にマークアップする記法である。

コマンド文字自体はブログに表示されないが、直前にスラッシュ\をつけるとコマンド文字をそのまま表示できる。（コマンドの機能は失われる）

コマンド文字一覧

字	名称	主な効果
#	シャープ	見出し化
\	スラッシュ	コマンド文字の表示
`	バッククオート	コード表示
+	プラス	リスト化
*	アスタリスク	強調表示
_	アンダーバー	強調表示
>	右アングル	引用表示
-	ハイフン	水平線
^	ハット	上付き
\|	縦線	表作成

見出し1

# 見出し1

<h1>になる。ブログやエントリーのタイトルと同格。SEO的には良くないかもしれない。

見出し2

## 見出し2

#が多いほど小さな見出しになり、<h2>になる。記事内の見出しで一番強いのはこれぐらいか。

見出し3

### 見出し3

<h3>になる。サブセクションぐらい。

見出し4

#### 見出し4

<h4>レベルになる。サブサブセクションぐらい。

見出し5

##### 見出し5

<h5>になる。あまり使わなそう。

見出し6

###### 見出し6

<h6>になる。あまり使わなそう。

# 見出し7

####### 見出し7

<h6>になる。/#を増やして意味があるのは6個まで。

コード記法

## コード記法

`（バッククォート）で囲むとコードをそのまま表示できる。'ではないことに注意。

a
b
c
d

```で段落ごと囲むと段落ごとコード表示。

強調表示

*test

*単独では効果がない。文字列を囲んで使用する。

test
↑強調レベル1。*で囲む。

test
↑強調レベル2。**で囲む。

test
↑強調レベル3。***で囲む。

水平線

↑ハイフン3つ

↑ハイフン4つ

↑ハイフン5つ

ハイフン3個以上で分割線。効果は何個でも同じなので見やすいように書けばよい。

引用

テスト

> テスト

数式

[tex: y=ax²+bx+c]

[tex: y=ax^2+bx+c]

いつも通りに入力するとMarkdownが優先されてしまい、数式モードにならない。

$y=ax^2+bx+c$

[tex: y=ax\^2+bx+c]

\begin{eqnarray} y=ax^2+bx+c \end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
y=ax\^2+bx+c
\end{eqnarray}

^などを\バックスラッシュでエスケープするとMathjaxを使用可能だがなかなか面倒。

コマンド文字以外のルール

編集時の改行は反映されない。半角スペース2つ入力で改行される。（わかりにくい）

2回改行して空行を作ると段落分けされる。

空行を2行以上空けても段落は1回だけしか分かれない。

画像について

f:id:dai-ig:20190428164734j:plain

[f:id:dai-ig:20190428164734j:plain]

f:id:dai-ig:20190428164734j:plain:w200

[f:id:dai-ig:20190428164734j:plain:w200]

画像タグ。はてなブログの機能で自動入力される。w200の部分で横幅を指定できる。

リンク

A4の宇宙

[A4の宇宙](https://a4.hateblo.jp)

2019-04-20

余弦定理の証明(鈍角に対向する辺の場合)

概要

任意の $\triangle ABC$ において、角 $C$ に対向する辺 $c$ の長さを $\cos C$ を用いて表し、以下に表される余弦定理を証明する。

\begin{eqnarray}
c^2=a^2+b^2-2ab \cos C
\end{eqnarray}

導出

$\angle C$ が鋭角の場合を前回やったので、今回は図のように、鈍角の場合を考える。

f:id:dai-ig:20190420122105j:plain

点 $A$ から辺 $a$ に垂線を引き、補助線としたいが、鋭角の時と異なり辺 $a$ とは交わらない。そこで下図のように辺 $a$ を延長し、補助線同士の交点を $D$ とする。

f:id:dai-ig:20190420122136j:plain

$\angle \pi-C$ と辺 $b$ を用いて、上図のように $CD=b \cos (\pi-C)$ と $AD=b \sin (\pi-C)$ がわかる。また、 $BD=a+CD$ なので $BD=a+b \cos (\pi-C)$ と表せる。

$\sin(\pi-C)$ と $\cos(\pi-C)$ の $\pi$ が邪魔なので消去したい。下に角度 $C$ と $\pi-C$ の関係を図示する。

f:id:dai-ig:20190428164353j:plain

f:id:dai-ig:20190428164734j:plain

これらの図を比較することで、 $\sin(\pi-C)=\sin C$ 、 $\cos(\pi-C)=-\cos C$ であることが分かる。

$\triangle ABD$ は $c$ を斜辺とする直角三角形であるので、三平方の定理より以下の関係が成り立つ。

\begin{eqnarray}
c^2&=&[b \sin (\pi-C)]^2 +[a+b\cos (\pi-C)]^2\\
\end{eqnarray}

$\pi$ を除去し、右辺を整理する。

\begin{eqnarray}
c^2&=&(b \sin C)^2 +(a-b\cos C)^2\\
&=& b^2 \sin^2 C+a^2-2ab \cos C +b^2 \cos ^2 C\\
&=&a^2+b^2(\sin ^2 C+ \cos ^2 C)-2ab \cos C\\
&=&a^2+b^2-2ab \cos C\\
\end{eqnarray}

$C$ が鈍角の場合にも余弦定理が導かれた。

また、 $C$ が垂直の時、余弦定理は三平方の定理と等しいので証明済みである。そのため、任意の $C$ で余弦定理が成り立つことが導かれた。

2019-04-16

余弦定理の証明(鋭角に対向する辺の場合)

概要

任意の $\triangle ABC$ において、角 $C$ に対向する辺 $c$ の長さを $\cos C$ を用いて表し、以下に表される余弦定理を証明する。

\begin{eqnarray}
c^2=a^2+b^2-2ab \cos C
\end{eqnarray}

導出

今回は図のように、 $\angle C$ が鋭角の場合を考える。

f:id:dai-ig:20190415210128j:plain

点 $A$ から辺 $a$ に垂線を引き、補助線とする。交点を $D$ とする。

f:id:dai-ig:20190415210938j:plain

$\angle C$ と辺 $b$ を用いて、上図のように $CD=b \cos C$ と $AD=b \sin C$ がわかる。また、 $BD=a-CD$ なので $BD=a-b \cos C$ と表せる。

$\triangle ABD$ は $c$ を斜辺とする直角三角形であるので、三平方の定理より以下の関係が成り立つ。

\begin{eqnarray}
c^2&=&(b \sin C)^2 +(a-b\cos C)^2\\
&=& b^2 \sin^2 C+a^2-2ab \cos C +b^2 \cos ^2 C\\
&=&a^2+b^2(\sin ^2 C+ \cos ^2 C)-2ab \cos C\\
&=&a^2+b^2-2ab \cos C\\
\end{eqnarray}

$\sin^2 C+\cos^2 C=1$ を用いて、余弦定理が導かれた。

2019-03-31

xが0に近い時のsin xの性質、面積を用いる方法

概要

図のように、半径 $r$ の円(緑)と、二つの直角三角形(青、赤)を考える。これらの直角三角形と、切り取られる扇形の面積を比較して、三角関数の微分に必要な $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$ を導出する。

f:id:dai-ig:20190331110542j:plain

導出

まず二つの直角三角形と切り取られる扇形の面積を、円の半径 $r$ と中心角 $x$ を用いて表す。

小さな直角三角形の面積 $S_1$

斜辺が $r$ と定まることから底辺と高さを導ける。

f:id:dai-ig:20190331111056j:plain

\begin{eqnarray}
S_1&=&\frac{1}{2}\times r \cos x \times r \sin x\\
&=&\frac{r^2 \sin x \cos x}{2}
\end{eqnarray}

切り取られる扇形の面積 $S_2$

円全体の面積 $\pi r^2$ に角度の割合 $\displaystyle \frac{x}{2 \pi}$ をかけて求める。

f:id:dai-ig:20190331111125j:plain

\begin{eqnarray}
S_2&=& \pi r^2 \times \frac{x}{2 \pi}\\
&=&\frac{r^2 x}{2}
\end{eqnarray}

大きな直角三角形の面積 $S_3$

底辺が $r$ と定まることから斜辺、高さの順に導ける。

f:id:dai-ig:20190331111149j:plain

\begin{eqnarray}
S_3&=&\frac{1}{2} \times r \times \frac{r \sin x}{\cos x}\\
&=&\frac{r^2 \sin x}{2\cos x}
\end{eqnarray}

図を比較すると明らかに以下の関係が成り立つ。

\begin{eqnarray}
S_1<S_2<S_3
\end{eqnarray}

$S_1, S_2, S_3$ に計算した値を代入する。

\begin{eqnarray}
\frac{r^2 \sin x \cos x}{2}<\frac{r^2 x}{2}<\frac{r^2 \sin x}{2\cos x}
\end{eqnarray}

共通部分を打ち消す。
\begin{eqnarray} \require{cancel}
\frac{\cancel{r^2} \sin x \cos x}{\cancel{2}}&<&\frac{\cancel{r^2} x}{\cancel{2}}&<&\frac{\cancel{r^2} \sin x }{\cancel{2}\cos x}\\
\sin x \cos x&<&x&<&\frac{\sin x }{\cos x}
\end{eqnarray}

全体を $\sin x$ で割る。 $\sin x \gt 0$ としているので不等号の向きは変わらない。
\begin{eqnarray}
\cos x&<&\frac{x}{\sin x}&<&\frac{1}{\cos x}
\end{eqnarray}

全体の逆数を取る。不等号の向きが逆になる。
\begin{eqnarray}
\frac{1}{\cos x}&>&\frac{\sin x}{x}&>&\cos x
\end{eqnarray}

全体の $\displaystyle \lim_{x \to 0}$ を取る。

\begin{eqnarray}
\lim_{x \to 0}\frac{1}{\cos x}&>&\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}&>&\lim_{x \to 0}\cos x\\
1&>&\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}&>&1
\end{eqnarray}

はさみうちの原理により、以下の関係が求められた。

\begin{eqnarray}
\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1
\end{eqnarray}

また $\sin x \lt 0$ の時も、横軸の下側に2つの直角三角形と扇形を考えることができるので、この関係は同様に成り立つ。

2019-03-24

xが0に近い時のsin xの性質マクローリン展開を用いる方法

数学微分幾何

導出

以前導出した $\sin x$ のマクローリン展開を書き下す。このマクローリン展開は無限の収束半径を持ち、本質的に $\sin x$ と等しいのであった。

\begin{eqnarray} \sin x = x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7+\cdots \end{eqnarray}

$x \neq 0$ として両辺を $x$ で割る。

\begin{eqnarray} \frac{\sin x}{x} = 1-\frac{1}{3!}x^2+\frac{1}{5!}x^4-\frac{1}{7!}x^6+\cdots \end{eqnarray}

両辺の $\displaystyle \lim_{x \to 0}$ を取る。

\begin{eqnarray} \require{cancel} \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} &=& \lim_{x \to 0} \left( 1-\frac{1}{3!}x^2+\frac{1}{5!}x^4-\frac{1}{7!}x^6+\cdots \right) \newline &=&\lim_{x \to 0} \left( 1-\cancel{\frac{1}{3!}x^2}+\cancel{\frac{1}{5!}x^4}-\cancel{\frac{1}{7!}x^6}+\cancel{\cdots} \right) \newline &=&1 \end{eqnarray}

すなわち、 $x$ が $0$ にとても近い時、 $\displaystyle \frac{\sin x}{x}$ は $1$ に収束する。

しかし、 $x=0$ ちょうどの時は、分母と分子が両方とも $0$ になってしまって $\displaystyle \frac{\sin x}{x}$ の値が定まらず、成り立たないことに注意。

この計算に意味あるの？

この計算は、三角関数の微分に必要な知識 $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} =1$ を導出するためのものである。

しかしよく考えると $\sin x$ をマクローリン展開する時点ですでに三角関数の微分を使用してしまっているので、循環論法になってしまって意味がない。

そのため多くの場合、扇形の面積や弧の長さを用いた幾何的な手法で $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} =1$ を導出する。

しかしながら、幾何的な導出こそが循環論法であるとする流派もある。(円の面積をちゃんと計算するために積分が必要だから、そこで $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} =1$ を使わないといけないよ派）

その流派では、 $\sin x$ は図形と無関係にマクローリン展開形式で定義されることになる。（これは導出ではなく定義なので、三角関数の微分は必要ないという理屈） \begin{eqnarray} \sin x = x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7+\cdots \end{eqnarray}

この場合、最初に $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} =1$ を知ることができるのは今回の手法になるのである。

参考 https://sci-tech.ksc.kwansei.ac.jp/~kawanaka/sinx.pdf

2019-03-17

民主主義は三択に弱い

その他

背景

最近ブレグジット問題がアツい。イギリスがEU離脱を決定したものの、その離脱プロセスが決まらず、締め切りだけが迫っている状況なのだ。

締め切りが来ると何も決まってないのに強制的にEU離脱となって大混乱を招くという。一体何故こんなことになってしまったのだろうか。

以下、モデル化してブレグジット投票の流れを追う。

イギリスの有権者3パターン

大体以下の3パターンに分かれている。

EU残留派 40%「EUに残留したい、離脱絶対反対！」
ソフト離脱派30%「EUからは離脱したいけど、ちゃんと交渉に沿ってやる」
ハード離脱派30%「EUから離脱したい！交渉で妥協とかしない！」

支持率の数値は適当なので注意。モデル化上、重要な所は以下の2点にある。

どの派閥も単独では過半数を取れない
離脱派を合計すると過半数を超える

また国民投票と議員による投票があるのだが区別していない。

投票

1回目

「イギリスはEUから離脱することにしますか？」

EU残留派 40%「No！」
ソフト離脱派30%「Yes！」
ハード離脱派30%「Yes！」

離脱賛成60%で過半数。離脱が決定した。次は具体的な方針を決めよう。

2回目

「EUと妥協点を探って離脱する計画を作りました。でもEUの影響は残るかも…これで良い？」

EU残留派 40%「離脱したくないからNo！」
ソフト離脱派30%「Yes！」
ハード離脱派30%「手緩いからNo！」

反対70%で過半数。ソフトブレグジットしないことが決定した。

3回目

「じゃあ問答無用で離脱することにする？」

EU残留派 40%「離脱しないって言ってるだろ！No！」
ソフト離脱派30%「無茶苦茶すぎるだろ！No！」
ハード離脱派30%「Yes！」

反対70%で過半数。ハードブレグジットしないことが決定した。

4回目

「分かった。ホントは離脱したくなかったんだろ？国民投票をもう一度やろう？」

EU残留派 40%「それだ！Yes！」
ソフト離脱派30%「No！」
ハード離脱派30%「No！」

反対60%で過半数。再投票しないことが決定した。

なぜこんなことに…

つまり3択で、自分の意見とぴったりでないとNo投票する、というルールで投票を行うと、全て否決されてしまって永遠に何の結論も出なくなってしまう。

また、今回は3パターンの別れかたが、「強賛成」「弱賛成」「反対」だったことが問題を危険にしている。「賛成派」自体は過半数を超えているので、取り消すこともできずに時間だけが過ぎてしまったのだ。

日本の場合

例えば大阪都構想はこれと近い動きをしているが、層の別れ方が異なったのでセーフだった。

「維新の会も大阪都構想も好き」30%
「維新の会は好きだけど都構想は嫌」30%
「維新の会も都構想も嫌」40%

の三層がいるので、

維新の会が選挙で勝つ！

↓

大阪都構想や！

↓

アカン！票が足らん！これは解散しかない…

↓

解散後の選挙でまた維新の会が勝つ！

↓

これは大阪都構想待ったなしや！

の繰り返しが発生してしまう。維新の会は普通に人気があるので、都構想投票に失敗した後も選挙で勝ってしまうのだった。

しかしこれは都構想賛成派が過半数いないため、つまり「賛成」「弱反対」「強反対」に分かれたため、グルグル回るだけでイギリスみたいな決定的な問題にはならなかった。

最後はどうするのか？

メイ首相(ソフト離脱派)は「相手の思うツボですよ作戦」を取っていくのではないか？

残留派には「時間切れになったら結局ハードブレグジットになっちゃいますよ？」

ハード離脱派には「このままモタモタしてたら離脱延期しかないですよ。その間に流れが変わって再投票になったりするかも？」

と脅しをかけて、ソフト離脱派プランに同意するようプッシュするという作戦なのでは。

これがうまく行くかはもう政治家の力量と妥協の世界なのでどうなるのかは俺程度では分からないのだった。（ゲーム理論とかにあるのかも知れないけど）