フィボナッチ数列の一般項

以下の漸化式で表される数列をフィボナッチ数列と呼ぶ。特性方程式を用いて、フィボナッチ数列の一般項を求める。

\begin{eqnarray}
F_{n+2}&=&F_{n+1}+F_{n}\\
F_0&=&0\\
F_1&=&1\\
\end{eqnarray}

この漸化式の特性方程式を作るととなる。因数分解は容易でないので、解の公式にを代入する。

\begin{eqnarray}
x&=&\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
&=&\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-1)}}{2}\\
&=&\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\\
\end{eqnarray}

解が求められた。

特性方程式が異なる2つの解を持ったので、2つの等比数列を作れる。

\begin{eqnarray}
a_{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)a_n&=&\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n\left[a_1-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)a_0\right]\\
a_{n+1}-\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)a_n&=&\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n\left[a_1-\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)a_0\right]
\end{eqnarray}

, を代入する。

\begin{eqnarray}
a_{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)a_n&=&\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n\\
a_{n+1}-\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)a_n&=&\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n
\end{eqnarray}

上の式から下の式を辺々引く。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
\left(\frac{\cancel{1}+\sqrt5}{2}\right)a_n-\left(\frac{\cancel{1}-\sqrt5}{2}\right)a_n=\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n
\end{eqnarray}

整理する。

\begin{eqnarray}
\sqrt{5}a_n=\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n
\end{eqnarray}

両辺をで割る。

\begin{eqnarray}
\underline{a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n\right]}
\end{eqnarray}

フィボナッチ数列の一般項が求められた。がたくさん入っていて、一見間違っているように見えるが…

検算

漸化式から

\begin{eqnarray}
a_0&=&0\\
a_1&=&1\\
a_2=1+0&=&1\\
a_3=1+1&=&2\\
\end{eqnarray}

一般項から

\begin{eqnarray}
a_0=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^0-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^0\right]=\frac{1}{\sqrt5}(1-1)=0\\
a_1=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^1-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^1\right]=\frac{1}{\sqrt5}\left(\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right)=1\\
a_2=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^2-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^2\right]=\frac{1}{\sqrt5}\left(\frac{2\sqrt{5}}{2^2}+\frac{2\sqrt{5}}{2^2}\right)=1\\
a_3=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^3-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^3\right]=\frac{1}{\sqrt5}\left(\frac{3\sqrt5 + 5\sqrt{5}}{2^3}+\frac{3\sqrt5 + 5\sqrt{5}}{2^3}\right)=2\\
\end{eqnarray}

一致している。またの部分は全て計算過程で打ち消されていることが分かる。